Berechnen des Volumens des Kegels.

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot \mathrm{h}$

Die Höhe des Kegels ist bekannt (siehe Aufgabenstellung), jetzt muss noch der Radius ${\mathrm{r}}_1$ berechnet werden.

Berechnen von ${\mathrm{r}}_1$ mithilfe des Tangens.

Das farbige Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, im rechtwinkligen Dreieck gilt:

${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{\alpha })$

Angewandt auf das farbige Dreieck:

${\displaystyle \frac{{\mathrm{r}}_1}{{\mathrm{h}}_1}}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(35°)\Rightarrow {\mathrm{r}}_1={\mathrm{h}}_1\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(35°)$

${\mathrm{r}}_1=6\cdot \mathrm{0,7002}$

${\mathrm{r}}_1=\mathrm{4,2}\text{ cm}$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\mathrm{4,2}}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot 6$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{105,84}\cdot \mathrm{\pi }$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\mathrm{110,8}{\text{ cm}}^3$

Das Volumen des Kegels beträgt:$\mathrm{110,8}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$.

Berechnen des Radius ${\mathrm{r}}_2$.

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:

${\mathrm{V}}_{\text{Zylinder}}={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \cdot \mathrm{h}$

Auflösen der Formel nach $\mathrm{r}$.

$\mathrm{r}=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}}{\mathrm{\pi }\cdot \text{ h}}}}$

Berechnen der Höhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}.}$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}.}=12-6$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}.}=6\text{ cm}$

Berechnen von ${\mathrm{r}}_2$:

${\mathrm{r}}_2=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{169,7}}{\mathrm{\pi }\cdot 6}}}{\mathrm{r}}_2=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{169,7}}{\mathrm{18,8}}}}$

${\mathrm{r}}_2=3\mathrm{c}\mathrm{m}$

Der Radius des Zylinders beträgt:$3\mathrm{c}\mathrm{m}$.