Gruppe B

1
Vereinfachen Sie die folgenden Terme jeweils so weit wie möglich.
1. $\sqrt{90} \cdot \sqrt{10} =$
  (1 Pkt.)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Quadratwurzeln
  $\sqrt{90} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{900} = 30$
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2. $\frac{6 x^{6}}{2 x^{2}} =$
  (1 Pkt.)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  $\frac{6 x^{6}}{2 x^{2}} = 3 x^{4}$
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2
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $g$ mit $g (x) = x^{2} - 4$ .
1. Geben Sie die Nullstellen von $g$ an.
  (1 Pkt.)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $x^{2} - 4 = (x + 2) \cdot (x - 2)$
  Nullstellen $- 2$ und + $2$ .
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2. Beschreiben Sie, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen der in $ℝ$ definierten
  Funktion $f$ mit $f (x) = x^{2}$ hervorgeht, und geben Sie die Wertemenge von $g$ an.
  (2 Pkt.)
  
  Der Graph $g$ geht aus dem Graphen $f$ durch Verschiebung um $4$ in die negative
  y-Richtung hervor.
  Wertemenge von $g$ :
  $[- 4; + \infty [$
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3
In einem Behälter befinden sich $100$ Kugeln, die mit den Zahlen von $1$ bis $100$ durchnummeriert sind. Es wird eine Kugel zufällig gezogen.
Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:
A: „Die Zahl auf der Kugel ist ungerade.“
B: „Die Zahl auf der Kugel ist einstellig.“
1. Geben Sie alle Zahlen an, die auf der gezogenen Kugel stehen können, wenn das Ereignis $A \cap B$ eintritt.
  (1 Pkt.)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittmenge
  Angeben der Schnittmenge $𝐀 \cap 𝐁$ .
  Die Schnittmenge von $A$ und $B$ ist die Menge aller Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind.
  Von den Zahlen $1$ bis $100$ sind das die ungeraden einstelligen Zahlen.
  Also: $A \cap B = {1, 3, 5, 7, 9}$
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2. Schraffieren Sie im abgebildeten Mengendiagramm die zu folgendem Ereignis passende Fläche:
  „Die Zahl auf der Kugel ist ungerade oder einstellig.“
  (1 Pkt.)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittmenge
  Schraffieren des Mengendiagramms.
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4
In Deutschland leben ca. $85$ Millionen Menschen; dies sind ca. $19 %$ der Einwohner der Europäischen Union.
1. Geben Sie an, wie man mithilfe dieser Informationen die Einwohnerzahl der Europäischen Union berechnen könnte.
  (1Pkt.)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
  $G = \frac{W}{p}$
  $W = 85$
  $p = 0,19$
  $G = \frac{85}{0,19}$
  Dividiere $85$ Millionen durch $0,19$ .
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2. In Bayern leben ca. $13$ Millionen Menschen. Einer der folgenden Terme beschreibt den Anteil der Einwohner Bayerns an den Einwohnern der Europäischen Union. Kreuzen Sie (nur) diesen an.
  (1 Pkt.)
  $\frac{13}{85 \cdot 0,19}$
  $\frac{13}{85} \cdot 0,19$
  $\frac{85}{13 \cdot 0,19}$
  $\frac{85}{13} \cdot 0,19$
  
  $p = \frac{W}{G}$
  $W = 13$
  $G = \frac{85}{0,19}$
  $p = \frac{13}{\frac{85}{0,19}} = \frac{13}{85} \cdot 0,19$
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5
Bei einer Gefahrenbremsung eines Pkw hängen die Länge des Reaktionswegs und die Länge des Bremswegs von der Geschwindigkeit des Pkw ab. In Anlehnung an im Alltag verwendete Faustregeln wird diese Abhängigkeit im Folgenden für eine trockene Fahrbahn mithilfe zweier in $ℝ^{+}$ definierter Funktionen beschrieben:
Dabei ist $x$ die Geschwindigkeit des Pkw in $\frac{k m}{h}$ , $r (x)$ die Länge des Reaktionswegs in Metern und $b (x)$ die Länge des Bremswegs in Metern.
1. Ergänzen Sie folgenden Satz:
  Bei einer Geschwindigkeit von $120 \frac{k m}{h}$ ist der Reaktionsweg __________ $m$ lang.
  (1 Pkt.)
2. Beschreiben Sie allgemein, wie sich die Länge des Bremswegs verändert, wenn die
  Geschwindigkeit verdoppelt wird.
  (1 Pkt.)
3. Die Abbildung zeigt den Graphen von $b$ .
  Zeichnen Sie den Graphen von $r$ in die Abbildung ein und lesen Sie die Geschwindigkeit ab, für die im Falle einer Gefahrenbremsung der Bremsweg genauso lang ist wie der Reaktionsweg.
  (2 Pkt.)
4. Erfolgt eine Gefahrenbremsung nicht auf trockener, sondern auf eisglatter Fahrbahn, so bleibt der Reaktionsweg gleich lang, der Bremsweg wird jedoch k-mal so lang $(k > 1)$ , d. h. die Länge des Bremswegs wird mithilfe der in $ℝ^{+}$ definierten Funktion $B : x \to k \cdot \frac{1}{2} \cdot {(\frac{x}{10})}^{2}$ beschrieben.
  Die Länge des Anhaltewegs ist die Summe der Längen von Reaktions- und Bremsweg.
  Berechnen Sie den Wert von $k$ , wenn bei einer Geschwindigkeit von $10 \frac{k m}{h}$ der Anhalteweg auf einer eisglatten Fahrbahn $9 m$ lang ist.
  (2 Pkt.)
6
Gegeben ist ein Zylinder mit der Höhe $8$ ; seine Grundfläche ist ein Kreis mit Radius $3$ .
1. Kreuzen Sie (nur) denjenigen Term an, der das Volumen des Zylinders angibt.
  (1 Pkt.)
  $144 π$
  $72 π$
  $48 π$
  $24 π$
  $12 π$
  $6 π$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
  $V_{Zylinder} = r^{2} \cdot π \cdot h$
  $r = 3$
  $h = 8$
  $V_{Zylinder} = 72 \cdot π$
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2. Die Strecke $P Q$ ist ein Durchmesser der Grundfläche des Zylinders; der Punkt $R$ ist der Mittelpunkt der Deckfläche. Im Dreieck $PQR$ wird der Innenwinkel bei $R$ mit $φ$ bezeichnet (vgl. Abbildung).
  Bestimmen Sie mithilfe geeigneter Eintragungen in der Abbildung den Wert
  von $\tan (\frac{φ}{2})$ .
  (2 Pkt.)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
  $\tan (\frac{φ}{2}) = \frac{3}{8}$
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7
Die Abbildung zeigt den Graphen der in $ℝ^{+}$ definierten Funktion $f : x \to \frac{3}{x}$ .
Die Punkte $Q (a | \frac{3}{a})$ mit $a \in ℝ^{+}$ liegen auf dem Graphen von $f$ . Für jeden Wert von a wird das Rechteck $OPQR$ betrachtet, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen. Die Abbildung stellt die Situation für einen bestimmten Wert von $a$ dar.
1. Geben Sie für $a = 2$ die Seitenlängen des Rechtecks an.
  (1 Pkt.)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
  Angeben der Seitenlängen des Rechtecks.
  Einsetzen von $x = 2$ in die Funktionsgleichung.
  $y = \frac{3}{2} \Rightarrow y = 1,5$
  Die Seitenlängen des Rechtecks sind: $2$ und $1,5$ .
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  Setze für $x = 2$ in die Funktionsgleichung ein.
  Berechne den Funktionswert.
2. Zeigen Sie, dass das Rechteck für jeden Wert von $a$ den Flächeninhalt $3$ hat.
  (1 Pkt.)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
  Zeigen, dass das Rechteck für jeden Wert von $𝐚$ den Flächeninhalt $𝟑$ hat.
  Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks lautet:
  $A_{R e c h t e c k} = l \cdot b$
  Einsetzen von $l = a$ und $b = \frac{3}{a}$ in die Formel.
  $A_{R e c h t e c k} = a \cdot \frac{3}{a} A_{R e c h t e c k} = a \cdot \frac{3}{a}$
  $A_{R e c h t e c k} = 3$
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3. Es gibt einen Wert von $a$ , für den $Q$ auf der Gerade mit der Gleichung $y = x$ liegt. Geben Sie diesen Wert exakt an.
  (1 Pkt.)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
  Angeben eines Werts für a, der auf der Geraden mit der Gleichung $y = x$ liegt.
  $x = \frac{3}{x} | \cdot x$
  $x^{2} = 3 | \sqrt{}$
  $x_{1 / 2} = \pm \sqrt{3}$
  $x_{1} = \sqrt{3} x_{2} = - \sqrt{3}$
  $x_{2}$ muss als Lösung ausgeschlossen werden, da der Wert nicht in der Definitionsmenge enthalten ist.
  Der exakte Wert von a, der auf der Geraden liegt ist: $\sqrt{3}$ .
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  Setze die Funktion $f (x) = \frac{3}{x}$ und die Geradengleichung $y = x$ gleich.
  Berechne $x$ .