Aufgaben zum Thema Ordnungsrelationen

Was für partielle Ordnungen und was für totale Ordnungen gibt es auf zweielementigen Mengen $\{x,y\}$?

Führe das im Beweis verwendete Sortierverfahren für die Menge $A=\{d, b, c, a, f, e\}$ mit der alphabetischen Sortierung durch. Verwende als Pivotelement $z$ immer das vorderste Element (am Anfang also $d$) und lasse die Reihenfolge der Elemente in $A_1$ und $A_3$ so, wie sie in $A$ waren (also nicht beim Zerlegen aus Versehen sortieren)!

Wenn man für eine endliche Menge $A$ mit $n=|A|$ Elementen nur eine partielle Ordnung hat, funktioniert das Sortieren nicht. (Warum nicht?)

Es gibt aber einen entsprechenden Satz, der besagt, dass man $A$ mit seiner partiellen Ordnung topologisch sortieren kann, d.h. es gibt immer (mindestens) eine Nummerierung $A=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$, für die gilt:

$\forall i,j\in\{1,\ldots,n\}: x_iRx_j \Rightarrow i\leq j$.

Beweise mithilfe dieses Satzes folgende Aussage: Zu jeder partiellen Ordnung $R$ auf einer endlichen Menge $A$ gibt es eine totale Ordnung $R'$ mit $R\subseteq R'$. (In Worten: Jede partielle Ordnung auf einer endlichen Menge kann ich "durch Hinzufügen von Pfeilen"' zu einer totalen Ordnung ausbauen.)