Aufgaben zum Thema Kombinatorik

Zur Erinnerung:

Wir beginnen von der rechten Seite:

Weil sich das $n$ in $(n-(n-k))!$ „herauskürzt“ und nur $k!$ über bleibt und wir noch $(n-k)!$ im Nenner haben (Der Zähler ist bei beiden sowieso gleich), erhalten wir den selben Nenner wie bei $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$.

Zuerst geben wir die Koeffizienten von $(x+1)^n$ an (Beweis ist der Vollständigkeit angehängt; laut der Aufgabenstellung reicht das bloße Angeben):

Nun versuchen wir, darüber $2^n$ darzustellen:

Ähnlich verfahren wir mit der zweiten angegebenen Gleichung (mit der Bedingung $n>0$):

Anhang

Zuerst müssen wir

zeigen:

Mit dieser Gleichung können wir nun einen Induktionsbeweis führen mit der Induktionsvoraussetzung:

Beginnen wir bei $n=0$ und betrachten auch $n=1$:

Nun können wir den Induktionsschritt von $n\rightarrow n+1$ durchführen:

Wir haben $52$ Karten, $4$ Farben, folglich auch $\frac{52}{4}=13$ verschiedene Figuren und damit jeweils $\frac{52}{13}=4$ Figuren einer Sorte.

Für ein Full House benötigen (wenn wir vom Pokerspiel mit $5$ ausgeteilten Karten ausgehen… Ist nicht genau spezifiziert, wahrscheinlich aber implizit gemeint) wir $3$ Karten von einer Figur (ein Drilling) und $2$ Karten von einer anderen Figur (ein Paar) auf der Hand.

Zuerst müssen wir uns überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, $2$ verschiedene Figuren aus den $13$ auszuwählen, die Reihenfolge beachten wir hierbei noch (im Vergleich zum Urnenmodell: mit Unterscheidung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen):

Anschließend müssen wir uns noch überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, $3$ Karten aus den ersten Figuren und $2$ Karten von den zweiten Figuren auszuwählen (jeweils im Vergleich zum Urnenmodell: ohne Unterscheidung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen). Da jede Auswahlmöglichkeit der $3$ Karten auf jede Auswahlmöglichkeit bei den $2$ Karten angewandt werden kann, sind die Möglichkeiten insgesamt (Anmerkung: Hier liegt der Grund, wieso wir vorhin die Reihenfolge beachtet haben: Wir müssen zwischen Figuren, von denen wir $3$ Karten und Figuren, von denen wir $2$ Karten ziehen unterscheiden. Natürlich hätte man aber oben ohne Reihenfolge ziehen können und dann hier einen Faktor $2$ für das Vertauschen integrieren. Das Endergebnis wäre das selbe.):

Nun können wir beide Möglichkeiten zusammenführen, wobei wir wieder bei jedem Paar von Figuren entsprechend $3$ und $2$ Karten auswählen müssen:

Dies entspricht aller Möglichkeiten, ein Full House aus $5$ Karten bei einem $52$er-Kartenblatt zu bilden.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Full House beträgt nebenbei entsprechend: