Aufgaben zur Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Der Bildpunkt $P'$ entsteht durch Spiegelung des Urpunktes $P$ an einer Ursprungsgeraden $h$ .Gib die Gleichung der Spiegelachse $h$ , die Abbildungsgleichung und die Koordinaten von $Q'$ an.

$P(3|-4), P'(-3|4), Q(-5|1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
Skizze:
Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel $\alpha$ der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt $P$ und $P'$ ein und löst nach $\alpha$ auf.
Hier bietet sich die Koordinatenform an:
$x'=x\cos(2\alpha)+y\sin(2\alpha)$
$y'=x\sin(2\alpha)-y\cos(2\alpha)$
$(I):-3=3\cos(2\alpha)-4\sin(2\alpha)$
$(II): \ \ 4=3\sin(2\alpha)+4\cos(2\alpha)$
Löse $(I)$ nach $\cos(2\alpha)$ auf.
$\Rightarrow (I'): \cos(2\alpha)=-1+\frac{4}{3}\sin(2\alpha)$
Setze $(I')$ in $(II)$ ein und löse nach $\alpha$ auf.
$4=3\sin(2\alpha)-4+\frac{16}{3}\sin(2\alpha)$
$\Leftrightarrow 8=\frac{25}{3}\sin(2\alpha)$
$\Leftrightarrow \frac{24}{25}=\sin(2\alpha)$
$\Leftrightarrow 2\alpha=73{,}74°$
$\Leftrightarrow \alpha=36{,}87°$
Du hast also den Winkel $\alpha$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
Mit dieser Information kannst du auf die Steigung $m_h$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
$m_h=\tan\alpha$
$\Rightarrow m_h=tan(36{,}97°)=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow h:y=\frac{3}{4}x$
Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt $Q'$ angeben bzw. berechnen.
Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
$x'=x\cos(73{,}74°)+y\sin(73{,}74°)$
$y'=x\sin(73{,}74°)-y\cos(73{,}74°)$
$\Rightarrow$ Spiegelung von $Q$
$x'=-5\cos(73{,}74°)+1\sin(73{,}74°)=-0{,}44$
$y'=-5\sin(73{,}74°)-1\cos(73{,}74°)=-5$
$\Rightarrow Q' (-0{,}44|-5)$
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$P(-5|1), P'(-1|5), Q(4|3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
Skizze:
Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel $\alpha$ der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt $P$ und $P'$ ein und löst nach $\alpha$ auf.
Hier bietet sich die Koordinatenform an:
$x'=x\cos(2\alpha)+y\sin(2\alpha)$
$y'=x\sin(2\alpha)-y\cos(2\alpha)$
$(I):-3=3\cos(2\alpha)-4\sin(2\alpha)$
$(II): \ \ 4=3\sin(2\alpha)+4\cos(2\alpha)$
Löse $(I')$ nach $\cos(2\alpha)$ auf.
$\Rightarrow (I'): \cos(2\alpha)=-1+\frac{4}{3}\sin(2\alpha)$
Setze $(I')$ in $(II)$ ein und löse nach $\alpha$ auf.
$(I')$ in $(II)$ :
$4=3\sin(2\alpha)-4+\frac{16}{3}\sin(2\alpha)$
$\Leftrightarrow 8=\frac{25}{3}\sin(2\alpha)$
$\Leftrightarrow \frac{24}{25}=\sin(2\alpha)$
$\Leftrightarrow 2\alpha=270°$
$\Leftrightarrow \alpha=135°$
Du hast also den Winkel $\alpha$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
Mit dieser Information kannst du auf die Steigung $m_h$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
$m_h=\tan\alpha$
$\Rightarrow m_h=tan(135°)=-1$
Die Spiegelachse ist also die Winkelhalbierende des II. und IV. Quadraten: $\Rightarrow h:y=-x$
Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt $Q'$ angeben bzw. berechnen.
Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
$x'=x\cos(270°)+y\sin(270°)$
$y'=x\sin(270°)-y\cos(270°)$
$\Rightarrow$ Spiegelung von $Q$
$x'=4\cos(270°)+3\sin(270°)=-3$
$y'=4\sin(270°)-3\cos(270°)=-4$
$\Rightarrow Q' (-3|-4)$
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$P(-4|0{,}6), P'(-2{,}9|2{,}5), Q(-1|-2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
Skizze:
Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel $\alpha$ der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt $P$ und $P'$ ein und löst nach $\alpha$ auf.
Hier bietet sich die Koordinatenform an:
$x'=x\cos(2\alpha)+y\sin(2\alpha)$
$y'=x\sin(2\alpha)-y\cos(2\alpha)$
$(I):-2{,}9=-4\cos(2\alpha)+0{,}6\sin(2\alpha)$
$(II): \ \ 2{,}5=-4\sin(2\alpha)-0{,}6\cos(2\alpha)$
Löse $(I)$ nach $\cos(2\alpha)$ auf.
$\Rightarrow (I'): \cos(2\alpha)=0{,}725+0{,}15\sin(2\alpha)$
Setze $(I')$ in $(II)$ ein und löse nach $\alpha$ auf.
$(I')$ in $(II)$ :
$2{,}5=-4\sin(2\alpha)-0{,}435-\frac{9}{100}\sin(2\alpha)$
$\Leftrightarrow 2{,}935=-4{,}09\sin(2\alpha)$
$\Leftrightarrow -0{,}72=\sin(2\alpha)$
$\Leftrightarrow 2\alpha=314°$
$\Leftrightarrow \alpha=157°$
Du hast also den Winkel $\alpha$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
Mit dieser Information kannst du auf die Steigung $m_h$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
$m_h=\tan\alpha$
$\Rightarrow m_h=tan(157°)=-0{,}43$
$\Rightarrow h:y= -0.43x$
Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt $Q'$ angeben bzw. berechnen.
Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
$x'=x\cos(314°)+y\sin(314°)$
$y'=x\sin(314°)-y\cos(314°)$
$\Rightarrow$ Spiegelung von $Q$
$x'=-1\cos(314°)-2\sin(314°)=0{,}74$
$y'=-1\sin(314°)+2\cos(314°)=2{,}09$
$\Rightarrow Q' (0{,}74|2{,}09)$
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