Aufgaben zu Fixpunkten und Fixgeraden

$g{g}^{\mathrm{\prime }}g\; \backslash overset\{\backslash vec\; v=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 6\; \backslash end\{pmatrix\}\}\{\; \backslash longrightarrow\}g\text{'}$

Um den Ortsvektor eines beliebigen Punktes $G^{\mathrm{\prime }}G\text{'}$ auf der Geraden $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ zu finden, verschiebst du zunächst den Ortsvektor eines beliebigen Punktes $GG$ auf der Geraden $gg$ um den Vektor $\overrightarrow{v}\backslash overrightarrow\; v$.

$\overrightarrow{G^{\mathrm{\prime }}}=\vec{G}+\vec{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ 3x\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+2\\ 3x+6\end{array}\right)\backslash vec\{G\text{'}\}=\backslash vec\{\; G\}+\backslash vec\{\; v\}=\backslash begin\{pmatrix\}x\backslash \backslash 3x\backslash end\{pmatrix\}+\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 6\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}x+2\backslash \backslash 3x+6\backslash end\{pmatrix\}$

Jetzt kannst du erkennen, dass die untere Koordinate das dreifache der oberen beschreibt.

$\left(\begin{array}{c}x+2\\ 3x+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ 3x^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}x+2\backslash \backslash 3x+6\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}x\text{'}\backslash \backslash 3x\text{'}\backslash end\{pmatrix\}$

Daraus folgt, dass $gg$ und $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ dieselbe Gerade beschreiben.

$g^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ 3x^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ 3x\end{array}\right)=gg\text{'}=\backslash begin\{pmatrix\}x\text{'}\backslash \backslash 3x\text{'}\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}x\backslash \backslash 3x\backslash end\{pmatrix\}=g$

Die beiden Geraden sind also identisch.

$g^{\mathrm{\prime }}=gg\text{'}=g$

$gg$ ist unter der Parallelverschiebung um $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right)\backslash overrightarrow\; v=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 6\; \backslash end\{pmatrix\}$ eine Fixgerade.

$g{⟶}^{\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)}{g}^{\mathrm{\prime }}g\; \backslash longrightarrow^\{\backslash overrightarrow\; v=\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}\}\; g\text{'}$

Zunächst verschiebst du den Ortsvektor eines beliebigen Punktes $GG$ auf der Geraden $gg$ um den Vektor $\overrightarrow{v}\backslash overrightarrow\; v$, um den Ortsvektor eines beliebigen Punktes $G^{\mathrm{\prime }}G\text{'}$ auf der Geraden $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ zu finden.

$\overrightarrow{G^{\mathrm{\prime }}}=\vec{G}+\vec{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ 3x\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+4\\ 3x+3\end{array}\right)\backslash vec\{G\text{'}\}=\backslash vec\{\; G\}+\backslash vec\{\; v\}=\backslash begin\{pmatrix\}x\backslash \backslash 3x\backslash end\{pmatrix\}+\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}x+4\backslash \backslash 3x+3\backslash end\{pmatrix\}$

Nun kannst du die Steigung der Gerade $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ berechnen und mit der Steigung $33$ der Anfangsgeraden $gg$ vergleichen.

$m_{g^{\mathrm{\prime }}}=\frac{3x+3}{x+4}\mathrm{\ne }3m\_\{g\text{'}\}=\backslash frac\{3x+3\}\{x+4\}\backslash neq\; 3$

Die beiden Geraden sind also nicht identisch.

$g{⟶}^{O(0\mathrm{\mid }0),\varphi =180\mathrm{°}}{g}^{\mathrm{\prime }}g\; \backslash longrightarrow^\{O(0|0),\; \backslash phi=180°\}g\text{'}$

Du kannst die Formel für die Drehung um 180° am Ursprung für einen beliebigen Punkt $GG$ auf der Geraden $gg$ verwenden, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes $G^{\mathrm{\prime }}G\text{'}$ auf der Geraden $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ zu finden.

Du kannst nun die Steigung $mm$ des Trägergraphens $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$, der die Koordinaten des Punktes $G^{\mathrm{\prime }}G\text{'}$ beschreibt, bestimmen.

$m=\frac{-3x}{-x}=3m=\backslash frac\{-3x\}\{-x\}=3$

Sowohl $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ hat die Steigung $m=3m=3$ und geht durch den Ursprung.Damit stellst du die zugehörige Geradengleichung auf.

$g^{\mathrm{\prime }}:y^{\mathrm{\prime }}=3x^{\mathrm{\prime }}g\text{'}:\; y\text{'}=3x\text{'}$

$gg$ und $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ haben dieselbe Geradengleichung und beschreiben daher dieselbe Gerade.

$g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ ist also eine Fixgerade

$g{⟶}^h{g}^{\mathrm{\prime }}g\; \backslash longrightarrow^h\; g\text{'}$ mit $h:y=-\frac{1}{3}xh:\; y=-\backslash frac13x$

Zunächst kannst du mit dem Arcustangens den Winkel $\alpha \backslash alpha$ zwischen der Geraden $hh$ und der x-Achse bestimmen.

$\alpha =ta{n}^{-1}(-\frac{1}{3})=-18,43\mathrm{°}\backslash alpha=tan^\{-1\}(-\backslash frac13)=-18\{,\}43°$

Nun kannst du den allgemeinen Punkt $GG$ auf der Gerade $gg$ an der Gerade $hh$ spiegeln um den Pukt $G^{\mathrm{\prime }}G\text{'}$ zu erhalten.

Nun kannst du die Steigung der gespiegelten Gerade ausrechnen.

$m=\frac{-3x}{-x}=3m=\backslash frac\{-3x\}\{-x\}=3$

Sowohl $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ hat die Steigung $m=3m=3$ und geht durch den Ursprung.Damit stellst du die zugehörige Geradengleichung auf.

$g^{\mathrm{\prime }}:y^{\mathrm{\prime }}=3x^{\mathrm{\prime }}g\text{'}:\; y\text{'}=3x\text{'}$

$gg$ und $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ haben dieselbe Geradengleichung und beschreiben daher dieselbe Gerade.

$g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ ist also eine Fixgerade

$g{⟶}^{k=\frac{1}{4}}{g}^{\mathrm{\prime }}g\; \backslash longrightarrow^\{k=\backslash frac14\}g\text{'}$

Du kannst die Formel für die zentrische Streckung für einen beliebigen Punkt $GG$ auf der Geraden $gg$ verwenden, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes $G^{\mathrm{\prime }}G\text{'}$ auf der Geraden $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ zu finden.

Der Ursprung erfüllt diese Voraussetzung, was du durch Einsetzten rausfindest.

$x=0x=0$

$\overrightarrow{G_0^{\mathrm{\prime }}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\backslash overrightarrow\; \{G\_0\text{'}\}=\backslash begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash end\{pmatrix\}$

Nun kannst du die Steigung der gestreckten Gerade ausrechnen.

$m=\frac{\frac{3}{4}x}{\frac{1}{4}x}=3m=\backslash frac\{\backslash frac34x\}\{\backslash frac14x\}=3$

Sowohl $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ hat die Steigung $m=3m=3$.Damit stellst du die zugehörige Geradengleichung auf.

$g^{\mathrm{\prime }}:y^{\mathrm{\prime }}=3x^{\mathrm{\prime }}g\text{'}:\; y\text{'}=3x\text{'}$

$gg$ und $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ haben dieselbe Geradengleichung und beschreiben daher dieselbe Gerade.

$g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ ist also eine Fixgerade

$g{⟶}^h{g}^{\mathrm{\prime }}g\; \backslash longrightarrow^h\; g\text{'}$ mit $h:y=2xh:\; y=2x$

Zunächst kannst du mit dem Arcustangens den Winkel $\alpha \backslash alpha$ zwischen der Geraden $hh$ und der x-Achse bestimmen.

$\alpha =ta{n}^{-1}(-\frac{1}{3})=63,43\mathrm{°}\backslash alpha=tan^\{-1\}(-\backslash frac13)=63\{,\}43°$

Nun kannst du den allgemeinen Punkt $GG$ auf der Gerade $gg$ an der Gerade $hh$ spiegeln um den Pukt $G^{\mathrm{\prime }}G\text{'}$ zu erhalten.

Nun kannst du die Steigung der gespiegelten Gerade ausrechnen und mit der Steigung der ursprünglichen vergleichen.

$m_{g^{\mathrm{\prime }}}=\frac{\frac{13}{5}x}{\frac{9}{5}x}=\frac{13}{9}\mathrm{\ne }3m\_\{g\text{'}\}=\backslash frac\{\backslash frac\{13\}\{5\}x\}\{\backslash frac95x\}=\backslash frac\{13\}\{9\}\backslash neq\; 3$

Die beiden Geraden sind also nicht identisch.