Aufgaben zum Lösen von Sachaufgaben mit x-Ansatz

…

Berechne jeweils die Winkel.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der eine Winkel an der Hypotenuse um 32° kleiner als der andere. Berechne den gesuchten Winkel.

Grad

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkelsumme im Dreieck

$x=61^\circ$

Also ist der gesuchte Winkel $x-32^\circ=61^\circ-32^\circ=29^\circ$

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In einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der beiden spitzen Winkel halb so groß wie der andere.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkelsumme im Dreieck

Jedes Dreieck hat eine Innenwinkelsumme von $180°$ . Da es ein rechtwinkliges Dreieck ist, haben wir:

$\displaystyle \alpha+\beta+90°$	$=$	$\displaystyle 180°$	$\displaystyle -90°$
$\displaystyle \alpha+\beta$	$=$	$\displaystyle 90°$

Da $\alpha$ halb so groß ist wie $\beta$ , gilt: $\alpha=\dfrac12\;\beta$

$\displaystyle α$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\beta$
	↓	Gleichung in $α+β = 90°$ einsetzen
$\displaystyle \dfrac{1}{2}\ \beta+\beta$	$=$	$\displaystyle 90°$
	↓	$β$ zusammenzählen
$\displaystyle \dfrac{3}{2}\ \beta$	$=$	$\displaystyle 90°$	$\displaystyle :\dfrac{3}{2}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 60°$
$\displaystyle α$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}β=30°$

In einem Dreieck ist $\alpha$ um 20° kleiner als $\beta$ und $\gamma$ doppelt so groß wie $\alpha$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkelsumme im Dreieck

Term für $\alpha$ und $\gamma$ in Abhängigkeit von $\beta$ aufstellen.

Gleichung zur Winkelsumme im Dreieck aufstellen. Sprich: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$

$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \beta-20°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 2\left(\beta-20°\right)$
$\displaystyle 180°$	$=$	$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma$
$\displaystyle 180$	$=$	$\displaystyle \beta-20°+\beta+2\left(\beta-20°\right)$
	↓	Klammer auflösen.
$\displaystyle 180°$	$=$	$\displaystyle \beta-20°+\beta+2\beta-40°$
$\displaystyle 180°$	$=$	$\displaystyle 4\beta-60°$	$\displaystyle +60°$
$\displaystyle 240°$	$=$	$\displaystyle 4\beta$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 60°$
	↓	In Terme für $\alpha$ bzw. $\beta$ einsetzen und ausrechnen

$\alpha=\;\beta-20^\circ$

$\alpha=60^\circ-20^\circ$

$\alpha=40^\circ$

$\gamma=2\alpha$

$\gamma=2\cdot40^\circ$

$\gamma=80^\circ$