Aufgaben zum Lösen von Sachaufgaben mit x-Ansatz

Mit diesen gemischten Aufgaben lernst du, gesuchte Größen mithilfe von $x$ zu berechnen.

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Auf dem nebenstehenden Bild siehst du eine Rasenfläche, auf der ein Spielfeld als Rechteck der Länge 90 Meter und der Breite 45 Meter mit weißer Farbe markiert werden soll. Dafür möchte der Sportverein "Serlo 2009" Farbe für das Markieren der Linien kaufen.
1. Stelle einen Term für den Umfang des weißen Rechtecks auf und berechne diesen.
  m Umfang
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang von Rechtecken
  Die Formel für den Umfang des Rechtecks ist:
  $U=2{\color{red}{a}}+2\color{green}b$
  Wobei mit $\color{red}{a}$ die Länge des Rechtecks und mit $\color{green}{b}$ die Breite gemeint ist.
  In unserer Aufgabe gilt:
  Länge: $\color{red}{a}=90\text{m}$
  Breite: $\color{green}{b}=45\text{m}$
  $U = 2\cdot{\color{#cc0000}{a}}+2\cdot\color{#006400}{b}$
  Setze für a 90 m und für b 45 m ein.
  $\phantom{U}= 2{\cdot\color{#cc0000}{90}\color{#cc0000}{\text{m}}} + 2\cdot\color{#006400}{45}\color{#006400}{\text{m}}$
  Fasse weiter zusammen.
  $\phantom{U}= \color{#cc0000}{180}\color{#cc0000}{\text{m}}+ \color{#006400} {90}\color{#006400}{\text{m}}$
  $\phantom{U}=270\text{m}$
  Der Umfang beträgt also $270\text{m}$ .
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2. Wie viele Eimer Farbe muss der Sportverein mindestens kaufen, wenn man mit einem Eimer 30 Meter Linien markieren kann?
  Eimer Farbe
  
  Aus Teilaufgabe a) ergibt sich für den Umfang $U = 270$ Meter. Insgesamt sollen also $270$ Meter markiert werden. Wenn $x$ für die Anzahl der Eimer steht und ein Eimer für $30$ Meter Linie reicht, ergibt sich folgende Gleichung:
  $x\cdot 30 \text{m} = 270 \text{m}$
  Forme die Gleichung um, indem du auf beiden Seiten die gleiche Rechenoperation durchführst.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}x\cdot30\text{m} & = & 270\text{m} &|:30 \\x \cdot 30 \text{m} :30\text{m} & = & 270 \text{m} :30\text{m} \\x\cdot1 & = & 9 \\x & = & 9 \end{array}$
  Der Sportverein "Serlo 2009" braucht also mindestens 9 Farbeimer für die Markierung der Rasenfläche.
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Alex hat eine ungewöhnliche Abmachung mit seinen Eltern: Er erhält für jede Drei im Zeugnis einen bestimmten Geldbetrag von seinen Eltern, für eine Zwei bekommt er das Doppelte und für eine Eins sogar das Dreifache dieses Betrages. Für eine Vier bekommt er nichts, während für eine Fünf das Doppelte des Betrages für eine Zwei abgezogen werden und für eine Sechs das Vierfache des Betrages für eine Eins abgezogen werden. Im Zwischenzeugnis hat Alex folgende Noten: 1 mal Eins, 1 mal Zwei, 4 mal Drei, 2 mal Vier, 1 mal Fünf und 1 mal Sechs. Nachdem Alex in diesem Halbjahr so wenig erfolgreich war, werden ihm 42€ vom Taschengeld abgezogen. Berechne mit Hilfe eines x-Ansatzes, wieviel für jede Note berechnet wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung aufstellen

Alex bekommt einen "bestimmten Geldbetrag" für die Note 3. Abhängig von diesem Betrag werden alle anderen Geldbeträge berechnet. Wähle also:

$x$ = Geld für die Note 3.

Für die Note 2 bekommt Alex das Doppelte, also $2\cdot x$ .

Für die Note 1 bekommt Alex das Dreifache, also $3\cdot x$ .

Wenn Alex eine Note 4 im Zeugnis hat, bekommt er kein Geld. Es wird ihm aber auch nichts abgezogen, also $0€$ .

Für eine Note 5 muss Alex von seinem Taschengeld das Doppelte vom Betrag für eine Note 2 abziehen, also $-2\cdot\underbrace{(2\cdot x)}_{\text{Betrag für eine 2}}=-4\cdot x$

Bei einer Note 6 wird Alex das Vierfache des Betrags für eine Note 1 abgezogen, also: $-4\cdot\underbrace{(3\cdot x)}_{\text{Betrag für eine 1}}=-12\cdot x$

Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass Alex am Ende $42 €$ von seinem Taschengeld abgezogen werden. Im Zeugnis hat er:

eine Note 1
eine Note 2
viermal die Note 3
zweimal eine Note 4
eine Note 5
eine Note 6

Stelle damit einen Ansatz für die Berechnung von $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} 1\cdot3x+1\cdot2x+4\cdot x+2\cdot 0€+1\cdot (-1\cdot2\cdot2x)+1\cdot (-1\cdot4\cdot3x)&=&-42€&\\ 3x+2x+4x-4x-12x&=&-42€&\\ -7x&=&-42€&|:(-7)\\x&=&6€&\end{array}$

Note	Betrag
1	$3\cdot 6€=18€$
2	$2\cdot 6€=12€$
3	$6€$
4	$0€$
5	$-2\cdot 2\cdot 6€=-24€$
6	$-4\cdot 3\cdot 6€=-72€$

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In einem Verein mit 25 Mitgliedern haben 12 Mitglieder jeweils 2000€ eingezahlt. 12 weitere Mitglieder haben jeweils 1500€ beigesteuert. Auf dem Vereinskonto befinden sich 17000€. Wie ist das zu erklären? Führe eine Rechnung mit einem x-Ansatz durch!

Berechne jeweils die Winkel.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der eine Winkel an der Hypotenuse um 32° kleiner als der andere. Berechne den gesuchten Winkel.

Grad

In einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der beiden spitzen Winkel halb so groß wie der andere.

In einem Dreieck ist $\alpha$ um 20° kleiner als $\beta$ und $\gamma$ doppelt so groß wie $\alpha$ .

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€. Marco hat 2€ weniger als Sabine, Volker hat doppelt so viel wie Sabine und Lena doppelt so viel wie Marco. Berechne wie viel Geld Marco, Sabine, Volker und Lena haben.

Löse mit Hilfe eines Gesamtansatzes.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen

Schreibe dir die Informationen aus der Angabe übersichtlich auf. Setze s als Variable für den Geldbetrag, den Sabine besitzt, denn in Bezug zu Sabine sind viele Angaben in der Aufgabenstellung gemacht worden.

Name	Beschreibung	Rechnung
Sabine		$s$
Marco	Marco hat 2€ weniger als Sabine.	$s-2€$
Volker	Volker hat doppelt so viel wie Sabine.	$2s$
Lena	Lena hat doppelt so viel wie Marco.	$2\cdot(s-2€)$
Alle zusammen	Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€	$s+(s-2€)+2s+2(s-2€)=66€$

Berechne mit dem Gesamtansatz nun $s$ .

$\displaystyle s+\left(s-2€\right)+2s+2\left(s-2€\right)$	$=$	$\displaystyle 66€$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle s+s-2€+2s+2s-4€$	$=$	$\displaystyle 66€$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6s-6€$	$=$	$\displaystyle 66€$	$\displaystyle +6€$
$\displaystyle 6s$	$=$	$\displaystyle 72€$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 12€$

Nachdem du $s=12€$ nun berechnet hast, kannst du berechnen, wie viel Geld die anderen Kinder haben.

Name	Beschreibung	Rechnung
Sabine		$s=12€$
Marco	Marco hat 2€ weniger als Sabine.	$s-2€=12€-2€=10€$
Volker	Volker hat doppelt so viel wie Sabine.	$2s=2\cdot 12€=24€$
Lena	Lena hat doppelt so viel wie Marco.	$2(s-2€)=2\cdot 10€=20€$
Alle zusammen	Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€	$12€+10€+24€+20€=66€\;\checkmark$

Sabine hat also $12€$ , Marco hat $10€$ , Volker hat $24€$ und Lena hat $20€$ .

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Berechne x am Rechteck ABCD. (Die Zeichnung ist nicht maßstabgerecht.)

7
Verlängert man zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrats um jeweils 3 cm und verkürzt die anderen Seiten um jeweils 2 cm, so entsteht ein Rechteck, dessen Flächeninhalt um $1\;\mathrm{cm}^2$ größer ist als der des Quadrats. Wie lang sind die Seiten des Quadrats?
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen und Lösen von Gleichungen
Variable einführen
a = Seite des Quadrats
Gleichung aufstellen
Drücke die Angaben mithilfe von a aus:
$a$ : Seite des Quadrats
$a+3$ : lange Seite des Rechtecks
$a-2$ : kurze Seite des Rechtecks
$a^2+1$ : Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit vom Quadrat
$(a+3)(a-2)$ : Flächeninhalt in Abhängigkeit von den Rechteckseiten
Gleichung aufstellen:
"Quadrat + 1 = Rechteckfläche (Länge mal Breite)"
$a^2+1=\left(a+3\right)\left(a-2\right)$
Gleichung lösen
Gleichung umformen und Klammern ausmultiplizieren .
$a^2+1=a^2-2a+3a-6 \hspace{2cm}|-a^2$
$\hspace{0.75cm} 1 =\ a-6 \hspace{3.64cm}|+6$
$\hspace{0.75cm} 7 = a$
Lösung überprüfen:
Wenn die Quadratseite $7\ cm$ ist, dann wäre die Fläche des Quadrats $a^2=49\ cm^2$ und die Fläche vom Rechteck: $10\ cm\cdot5\ cm=50\ cm^2$ und damit $1\ cm^2$ größer als die Fläche des Quadrats.
Die Lösung stimmt also!
Antwortsatz
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Länge der Seite a des Quadrats beträgt 7cm.

Aus einem Draht von einem Meter Länge wurde das Kantenmodell eines Würfels gebaut. Es blieb ein Reststück von 4,0 cm. Wie lang ist eine Würfelkante?

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Ein Vater, seine Tochter und sein Sohn sind zusammen genauso alt wie ihre 77-jährige Oma. Der Vater ist doppelt so alt wie seine Tochter welche 3 Jahre älter ist als der Sohn. Berechne das Alter des Vaters, der Tochter und des Sohnes mithilfe einer Gleichung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung lösen
Das Alter der Tochter ist Unbekannt also Tochter = $x$ Der Vater ist doppelt so alt wie seine Tochter also Vater = $2\cdot x$ Der Sohn ist drei Jahre jünger als die Tochter also Sohn = $x-3$ Alle zusammen sind so alt wie ihre 77-jährige Oma also
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc}x&+&2 x&+&x-3&=&77\\x&+&2x&+&x-3&=&77\\&&3x&+&x-3&=&77\\&&&&4x-3&=&77&|&+3\\&&&&4x&=&80&|&:4\\&&&&x&=&20\end{array}$ Die Tochter ist $x$ , also $20$ Jahre alt. Der Vater ist 2 mal so alt, also $2\cdot20$ Der Sohn ist $3$ Jahre jünger als die Tochter, also $20-3$ Die Tochter ist 20 Jahre alt. Der Vater ist 40 Jahre alt. Der Sohn ist 17 Jahre alt.
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Zahlenrätsel
Löse die folgenden Aufgaben durch Aufstellen einer geeigneten Gleichung.
1. Die Summe von zwei Zahlen ist $814$ , ihre Differenz ist $90$ .
  
  Variable einführen
  $x =$ die größere Zahl
  Gleichung aufstellen
  Finde Beziehungen zwischen den Zahlen und drücke so die kleinere Zahl durch die größere Zahl aus:
  $x=$ größere Zahl
  $814-x$ $=$ kleinere Zahl
  Stelle eine Gleichung aus der zweiten Beziehung auf:
  "Die größere $-$ die kleinere Zahl $= 90$ "
  $x-(814-x)=90$
  Gleichung lösen
  $x-(814-x)=90 \\ \; \; \; x-814 +x = 90 \\ \; \; \; \; \; \; \ \ 2x-814 = 90 \hspace{1cm} |+814 \\ \hspace{1.7cm} 2x = 904 \hspace{1cm} |:2 \\ \hspace{1.87cm} x = 452$
  Ergebnis prüfen
  Die größere Zahl ist also $x=452$ und die kleinere Zahl $814-452 = 362$ .
  Überprüfen, ob die Differenz 90 ergibt:
  $452-362=90$
  Ergebnis stimmt!
  Antwort
  Die gesuchten Zahlen sind $452$ und $362$ .
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  Variable einführen
  Gleichung aufstellen
  Gleichung lösen
  Ergebnis überprüfen und Antwortsatz schreiben
2. Drei aufeinander folgende Zahlen ergeben zusammen addiert $165$ .
  
  Variable einführen
  $x =$ die kleinste der drei Zahlen
  Gleichung aufstellen
  Stelle die Beziehung zwischen der kleinsten Zahl und den anderen beiden Zahlen auf:
  $x =$ kleinste Zahl
  $x+1 =$ mittlere Zahl
  $x+2 =$ größte Zahl
  Gleichung aufstellen:
  "kleinste Zahl + mittlere Zahl + größte Zahl = $165$ "
  $x+\left(x+1\right)+\left(x+2\right)=165$
  Gleichung lösen
  $x+(x+1)+(x+2)=165\\ \hspace{0.55cm} x+x+1+x+2=165 \\ \hspace{2.25cm} 3x+3 = 165 \hspace{1cm} |-3\\ \hspace{2.86cm} 3x =162 \hspace{1cm} |:3\\ \hspace{3cm} x=54$
  Überprüfen der Lösung
  Wenn die kleinste Zahl $54$ ist, ist die mittlere Zahl $55$ und die größte Zahl $56$ .
  $54+55+56 = 165$
  Die Lösung stimmt also!
  Antwortsatz
  Die Zahlen sind $54$ , $55$ und $56$ .
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  Variable einführen
  Gleichung aufstellen
  Gleichung lösen
  Ergebnis überprüfen und Antwortsatz schreiben

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 12\cdot2000+12\cdot1500+x$	$=$	$\displaystyle 17000$
	↓	Ausmultiplizieren
$\displaystyle 24000+18000+x$	$=$	$\displaystyle 17000$
$\displaystyle 42000+x$	$=$	$\displaystyle 17000$	$\displaystyle -42000$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -25000$

$\displaystyle 90°$	$=$	$\displaystyle x-32°+x$	$\displaystyle +32°$
$\displaystyle 122°$	$=$	$\displaystyle 2x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 61°$

$\displaystyle \alpha+\beta+90°$	$=$	$\displaystyle 180°$	$\displaystyle -90°$
$\displaystyle \alpha+\beta$	$=$	$\displaystyle 90°$

$\displaystyle α$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\beta$
	↓	Gleichung in $α+β = 90°$ einsetzen
$\displaystyle \dfrac{1}{2}\ \beta+\beta$	$=$	$\displaystyle 90°$
	↓	$β$ zusammenzählen
$\displaystyle \dfrac{3}{2}\ \beta$	$=$	$\displaystyle 90°$	$\displaystyle :\dfrac{3}{2}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 60°$
$\displaystyle α$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}β=30°$

$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \beta-20°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 2\left(\beta-20°\right)$
$\displaystyle 180°$	$=$	$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma$
$\displaystyle 180$	$=$	$\displaystyle \beta-20°+\beta+2\left(\beta-20°\right)$
	↓	Klammer auflösen.
$\displaystyle 180°$	$=$	$\displaystyle \beta-20°+\beta+2\beta-40°$
$\displaystyle 180°$	$=$	$\displaystyle 4\beta-60°$	$\displaystyle +60°$
$\displaystyle 240°$	$=$	$\displaystyle 4\beta$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 60°$
	↓	In Terme für $\alpha$ bzw. $\beta$ einsetzen und ausrechnen

$\displaystyle 3{,}22\ \mathrm{cm}+x\ \mathrm{cm}$	$=$	$\displaystyle 9{,}37\ \mathrm{cm}+4{,}84\ \mathrm{cm}$	$\displaystyle - 3{,}22\ \mathrm{cm}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x\ \mathrm{cm}$	$=$	$\displaystyle 9{,}37\ \mathrm{cm}+4{,}84\ \mathrm{cm}-3{,}22\ \mathrm{cm}$
	↓	Rechne die rechte Seite aus.
$\displaystyle x\ \mathrm{cm}$	$=$	$\displaystyle 10{,}99\ \mathrm{cm}$

$\displaystyle 1\,\mathrm m-12\cdot x$	$=$	$\displaystyle 0{,}04\,\mathrm m$	$\displaystyle +(12x-0{,}04\,\mathrm m)$
$\displaystyle 0{,}96\,\mathrm m$	$=$	$\displaystyle 12x$	$\displaystyle \div 12$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}08\,\mathrm m=8\,\mathrm{cm}$

Aufgaben zum Lösen von Sachaufgaben mit x-Ansatz

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Dreieck

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Winkelsummen im Dreieck

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Variable einführen

Gleichung aufstellen

Gleichung lösen

Lösung überprüfen:

Antwortsatz

Variable einführen

Gleichung aufstellen

Gleichung lösen

Ergebnis prüfen

Antwort

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Variable einführen

Gleichung aufstellen

Gleichung lösen

Überprüfen der Lösung

Antwortsatz

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