Gegeben:

${\displaystyle \frac{1-(\cos (a){)}^2}{\sin (a)\cdot \sin (90\mathrm{°}-a)}}-\tan (a)\backslash dfrac\{1-(\backslash cos(a))^2\}\{\backslash sin(a)\backslash cdot\backslash sin(90°-a)\}-\backslash tan(a)$

Verwende den trigonometrischen Pythagoras:

${\sin }^2(a)+{\cos }^2(a)=1\backslash sin^2(a)+\backslash cos^2(a)=1$

Damit kannst du den Zähler vereinfachen.

$={\displaystyle \frac{{\sin }^2(a)}{\sin (a)\cdot \sin (90\mathrm{°}-a)}}-\tan (a)=\backslash dfrac\{\backslash sin^2(a)\}\{\backslash sin(a)\backslash cdot\backslash sin(90°-a)\}-\backslash tan(a)$

Kürze im Bruch mit $\sin (a)\backslash sin(a)$.

$={\displaystyle \frac{\sin (a)}{\sin (90\mathrm{°}-a)}}-\tan (a)=\backslash dfrac\{\backslash sin(a)\}\{\backslash sin(90°-a)\}-\backslash tan(a)$

Wegen der Komplementbeziehung gilt:

$\sin (90\mathrm{°}-a)=\cos (a)\backslash sin(90°-a)=\backslash cos(a)$.

$={\displaystyle \frac{\sin (a)}{\cos (a)}}-\tan (a)=\backslash dfrac\{\backslash sin(a)\}\{\backslash cos(a)\}-\backslash tan(a)$

Benutze die Definition der Tangensfunktion.

$=\tan (a)-\tan (a)=0=\backslash tan(a)-\backslash tan(a)\; =\; 0$

Gegeben:

Ziehe den hinteren Bruch auseinander.

Aus der Formel für den Tangens folgt:

Ersetze also ${\displaystyle \frac{\sin (x)}{\tan (x)}}\backslash dfrac\{\backslash sin(x)\}\{\backslash tan(x)\}$ durch $\cos (x)\backslash cos(x)$

Ersetze ${\displaystyle \frac{\sin (x)}{\tan (x)}}\backslash dfrac\{\backslash sin(x)\}\{\backslash tan(x)\}$ im Nenner des Bruches durch $\cos (x)\backslash cos(x)$

Wenn du die Kosinusfunktion um $\frac{\pi }{2}\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ verschiebt, also $\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\backslash cos\backslash left(x+\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)$, erhältst du $-\sin (x)-\backslash sin(x)$.

Es gilt allgemein $(-x{)}^2=x^2(-x)^2=x^2$, also auch $(-\sin (x){)}^2=(\sin (x){)}^2(-\backslash sin(x))^2=(\backslash sin(x))^2$.

Verwende den trigometrischen Pythagoras: