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Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

  1. 1

    Bei einem radioaktiven Stoff zerfällt jedes Jahr 10% der noch vorhandenen Masse. Berechne, wie viel nach 10 Jahren noch vorhanden ist.

  2. 2

    Modelliere jeweils durch einen entsprechenden Funktionsterm  f(x)\mathrm f(\mathrm x) :

    1. Die Tabelle zeigt die Entwicklung des ökologischen Landbaus in Deutschland:

      Jahr

      1984

      1990

      1996

      2002

      Fläche in 1000 ha

      22

      84

      313

      632

      Falls die Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion der Bauart¬† f(x)=84‚ÄČaxf(x)=84\, a^ x beschrieben wird, wie lautet dann die Basis aa und wie ist dieser Wert zu interpretieren?

      √úberpr√ľfe, ob die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung passen.

      Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?

    2. Von einem radioaktiven Element sind anfangs 20 000 Atomkerne vorhanden, nach 183 Sekunden ist nur noch 110\frac{1}{10} davon vorhanden.

      Wann ist nur die Hälfte vorhanden (Halbwertszeit)?

    3. Ein Hersteller von Bleistiften hat anfangs 20 000 Stifte in seinem Lager,

      nach 183 Tagen ist (bei gleichmäßiger Nachfrage seitens der Kunden) nur noch 110\frac{1}{10} davon vorrätig, wenn währenddessen keine Stifte produziert werden.

      Ergibt sich eine lineare oder exponentielle Abnahme f√ľr¬† f(x)=f(x)= Vorrat nach xx Tagen?

  3. 3

    Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu f(x)=2,5x\mathrm f(\mathrm x)=2{,}5^\mathrm x ,¬† g(x)=2,5x‚ąí1\mathrm g(\mathrm x)=2{,}5^{\mathrm x-1} und h(x)=0,4x\mathrm h(\mathrm x)=0{,}4^\mathrm x .

    Vergleiche die Graphen.

    Löse die Gleichung 2,5x=52{,}5^\mathrm x=5 graphisch.

  4. 4

    Derzeit gibt es kein politisches System auf der Erde, das nicht auf Wirtschaftswachstum setzt. 4¬†%4\ \% Wachstum gelten als w√ľnschenswert und ma√üvoll: also jedes Jahr 4¬†%4\ \% mehr im Vergleich zum Vorjahr. Um wie viel Prozent w√§re also bei diesem Wachstum die Wirtschaft nach‚Ķ

    1. … 2 Jahren gewachsen?

    2. … 10 Jahren gewachsen?

    3. … 50 Jahren gewachsen?

  5. 5

    Hans er√∂ffnet am 1. Januar ein Konto und zahlt darauf 500¬†‚ā¨500\ ‚ā¨ ein.

    Er erhält jährlich 2,5 %2{,}5\ \% Zinsen, die er am Ende des Jahres jeweils auf das Konto gutschreiben lässt

    1. Wie lautet der Kontostand nach 1, 2, 5 bzw. 10 Jahren?

    2. Wie lange m√ľsste Hans warten, damit sich sein Anfangskapital von 500¬†‚ā¨500\ ‚ā¨ verdoppelt hat?

  6. 6

    Bakterien vermehren sich durch Teilung, wobei sich eine Bakterienzelle durchschnittlich alle 10 Minuten teilt. Zum Zeitpunkt t=0t=0 sei genau eine Bakterienzelle vorhanden.

    1. Wie viele Bakterien sind dann nach 1 Stunde, 2 Stunden, 6 Stunden, 12 Stunden bzw. 24 Stunden vorhanden?

    2. Finde eine Formel f√ľr die Anzahl N=N(t)N= N(t) der Bakterien nach der Zeit tt.

    3. Eine Bakterienzelle hat ein Volumen von ca. 2‚čÖ10‚ąí18‚ÄÖ‚Ääm32 \cdot 10^{-18}\;\mathrm m^3. Wie lange dauert es, bis die Bakterienkultur ein Volumen von 1¬†m31\ m^3 bzw. 1¬†km31\ km^3 einnimmt?¬† Beurteile dein Ergebnis kritisch.

  7. 7

    Ein Taucher interessiert sich wegen Unterwasseraufnahmen daf√ľr, welche Helligkeit in verschiedenen Tiefen herrscht.

    Messungen in einem bestimmten (recht tr√ľben) See ergeben, dass die Helligkeit pro Meter Wassertiefe um ca. 17% abnimmt.

    F√ľr diese Aufgabe musst du dich mit exponentiellem Wachstum auskennen

    allg. Formel¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬† H0‚čÖbx=HH_0\cdot b^x=H

    Abnahmefaktor       b=0,83b=0{,}83

    Anfangswert   H0=1H_0=1         (=100%)\left(=100\%\right)

    Exponent= [x]\left[x\right] in Metern

    [H]\left[H\right] in Prozent

    1. Wie groß ist die Helligkeit in 1m, 2m, 5m bzw. 10m Tiefe, verglichen mit der Helligkeit an der Wasseroberfläche?

    2. Beschreiben sie die Helligkeit H als Funktion der Wassertiefe x als Bruchteil der Helligkeit H0{\mathrm H}_0 an der Wasseroberfläche.

    3. In welcher Tiefe betr√§gt die Helligkeit weniger als 0,01‚čÖH00{,}01\cdot{\mathrm H}_0 ?

  8. 8

    Beim Reaktorungl√ľck von Tschernobyl wurde eine Menge von etwa 400¬†g400\ g radioaktiven Jod 131 freigesetzt.

    Dieses Jod 131 hat eine sogenannte Halbwertszeit von 8,0 Tagen, d.h. in jeweils 8,0 Tagen halbiert sich die Menge des noch vorhandenen radioaktiven Materials Jod 131.

    Allg. Formel: M(0)‚čÖbt=M(t)M\left(0\right)\cdot b^t=M\left(t\right)

    Anfangswert a = 400g400g =M(0)=M\left(0\right)

    Zeit [t]\left[t\right] in Tagen

    M(t)‚ÄÖ‚Ääin‚ÄÖ‚ÄägM\left(t\right)\;in\;g

    M(8)=200gM\left(8\right)=200g

    1. Wie kann man die Menge M=M(t)\mathrm M=\mathrm M\left(\mathrm t\right) des radioaktiven Jods 131 als Funktion der Zeit tt angeben?

    2. Welcher Prozentsatz der urspr√ľnglich vorhandenen Menge M0=400g{\mathrm M}_0=400\mathrm g war nach einem Tag bzw. nach 30 Tagen noch vorhanden?

    3. Wie lange musste man etwa warten, bis von den 400g Jod 131 nur noch 1 Milligramm vorhanden war?

  9. 9

    Bierschaumzerfall

    Bei einer schlecht eingeschenkten Ma√ü Bier betr√§gt die Schaumh√∂he anfangs 10¬†cm10\ cm. Um das Bier einigerma√üen trinken zu k√∂nnen, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumh√∂he auf die H√§lfte zur√ľckgegangen.

    1. Stelle die Zerfallsgleichung f√ľr den Bierschaumzerfall auf.

    2. Berechne, wann die Schaumh√∂he auf 1¬†cm1\ cm zur√ľckgegangen ist.

    3. Bei einem anderen Gast beträgt die Schaumhöhe nach drei Minuten noch 3 cm3\ cm. Wie war die Schaumhöhe nach dem Einschenken?

    4. Mache plausibel, wann der Zerfall am stärksten ist.


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