Aufgaben zum Aufstellen, Lösen und Überprüfen von Gleichungen

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Auf dem nebenstehenden Bild siehst du eine Rasenfläche, auf der ein Spielfeld als Rechteck der Länge 90 Meter und der Breite 45 Meter mit weißer Farbe markiert werden soll. Dafür möchte der Sportverein "Serlo 2009" Farbe für das Markieren der Linien kaufen.
1. Stelle einen Term für den Umfang des weißen Rechtecks auf und berechne diesen.
  m Umfang
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang von Rechtecken
  Die Formel für den Umfang des Rechtecks ist:
  $U=2{\color{red}{a}}+2\color{green}b$
  Wobei mit $\color{red}{a}$ die Länge des Rechtecks und mit $\color{green}{b}$ die Breite gemeint ist.
  In unserer Aufgabe gilt:
  Länge: $\color{red}{a}=90\text{m}$
  Breite: $\color{green}{b}=45\text{m}$
  $U = 2\cdot{\color{#cc0000}{a}}+2\cdot\color{#006400}{b}$
  Setze für a 90 m und für b 45 m ein.
  $\phantom{U}= 2{\cdot\color{#cc0000}{90}\color{#cc0000}{\text{m}}} + 2\cdot\color{#006400}{45}\color{#006400}{\text{m}}$
  Fasse weiter zusammen.
  $\phantom{U}= \color{#cc0000}{180}\color{#cc0000}{\text{m}}+ \color{#006400} {90}\color{#006400}{\text{m}}$
  $\phantom{U}=270\text{m}$
  Der Umfang beträgt also $270\text{m}$ .
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2. Wie viele Eimer Farbe muss der Sportverein mindestens kaufen, wenn man mit einem Eimer 30 Meter Linien markieren kann?
  Eimer Farbe
  
  Aus Teilaufgabe a) ergibt sich für den Umfang $U = 270$ Meter. Insgesamt sollen also $270$ Meter markiert werden. Wenn $x$ für die Anzahl der Eimer steht und ein Eimer für $30$ Meter Linie reicht, ergibt sich folgende Gleichung:
  $x\cdot 30 \text{m} = 270 \text{m}$
  Forme die Gleichung um, indem du auf beiden Seiten die gleiche Rechenoperation durchführst.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}x\cdot30\text{m} & = & 270\text{m} &|:30 \\x \cdot 30 \text{m} :30\text{m} & = & 270 \text{m} :30\text{m} \\x\cdot1 & = & 9 \\x & = & 9 \end{array}$
  Der Sportverein "Serlo 2009" braucht also mindestens 9 Farbeimer für die Markierung der Rasenfläche.
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Alex hat eine ungewöhnliche Abmachung mit seinen Eltern: Er erhält für jede Drei im Zeugnis einen bestimmten Geldbetrag von seinen Eltern, für eine Zwei bekommt er das Doppelte und für eine Eins sogar das Dreifache dieses Betrages. Für eine Vier bekommt er nichts, während für eine Fünf das Doppelte des Betrages für eine Zwei abgezogen werden und für eine Sechs das Vierfache des Betrages für eine Eins abgezogen werden. Im Zwischenzeugnis hat Alex folgende Noten: 1 mal Eins, 1 mal Zwei, 4 mal Drei, 2 mal Vier, 1 mal Fünf und 1 mal Sechs. Nachdem Alex in diesem Halbjahr so wenig erfolgreich war, werden ihm 42€ vom Taschengeld abgezogen. Berechne mit Hilfe eines x-Ansatzes, wieviel für jede Note berechnet wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung aufstellen

Alex bekommt einen "bestimmten Geldbetrag" für die Note 3. Abhängig von diesem Betrag werden alle anderen Geldbeträge berechnet. Wähle also:

$x$ = Geld für die Note 3.

Für die Note 2 bekommt Alex das Doppelte, also $2\cdot x$ .

Für die Note 1 bekommt Alex das Dreifache, also $3\cdot x$ .

Wenn Alex eine Note 4 im Zeugnis hat, bekommt er kein Geld. Es wird ihm aber auch nichts abgezogen, also $0€$ .

Für eine Note 5 muss Alex von seinem Taschengeld das Doppelte vom Betrag für eine Note 2 abziehen, also $-2\cdot\underbrace{(2\cdot x)}_{\text{Betrag für eine 2}}=-4\cdot x$

Bei einer Note 6 wird Alex das Vierfache des Betrags für eine Note 1 abgezogen, also: $-4\cdot\underbrace{(3\cdot x)}_{\text{Betrag für eine 1}}=-12\cdot x$

Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass Alex am Ende $42 €$ von seinem Taschengeld abgezogen werden. Im Zeugnis hat er:

eine Note 1
eine Note 2
viermal die Note 3
zweimal eine Note 4
eine Note 5
eine Note 6

Stelle damit einen Ansatz für die Berechnung von $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} 1\cdot3x+1\cdot2x+4\cdot x+2\cdot 0€+1\cdot (-1\cdot2\cdot2x)+1\cdot (-1\cdot4\cdot3x)&=&-42€&\\ 3x+2x+4x-4x-12x&=&-42€&\\ -7x&=&-42€&|:(-7)\\x&=&6€&\end{array}$

Note	Betrag
1	$3\cdot 6€=18€$
2	$2\cdot 6€=12€$
3	$6€$
4	$0€$
5	$-2\cdot 2\cdot 6€=-24€$
6	$-4\cdot 3\cdot 6€=-72€$

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Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€. Marco hat 2€ weniger als Sabine, Volker hat doppelt so viel wie Sabine und Lena doppelt so viel wie Marco. Berechne wie viel Geld Marco, Sabine, Volker und Lena haben.

Löse mit Hilfe eines Gesamtansatzes.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen

Schreibe dir die Informationen aus der Angabe übersichtlich auf. Setze s als Variable für den Geldbetrag, den Sabine besitzt, denn in Bezug zu Sabine sind viele Angaben in der Aufgabenstellung gemacht worden.

Name	Beschreibung	Rechnung
Sabine		$s$
Marco	Marco hat 2€ weniger als Sabine.	$s-2€$
Volker	Volker hat doppelt so viel wie Sabine.	$2s$
Lena	Lena hat doppelt so viel wie Marco.	$2\cdot(s-2€)$
Alle zusammen	Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€	$s+(s-2€)+2s+2(s-2€)=66€$

Berechne mit dem Gesamtansatz nun $s$ .

$\displaystyle s+\left(s-2€\right)+2s+2\left(s-2€\right)$	$=$	$\displaystyle 66€$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle s+s-2€+2s+2s-4€$	$=$	$\displaystyle 66€$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6s-6€$	$=$	$\displaystyle 66€$	$\displaystyle +6€$
$\displaystyle 6s$	$=$	$\displaystyle 72€$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 12€$

Nachdem du $s=12€$ nun berechnet hast, kannst du berechnen, wie viel Geld die anderen Kinder haben.

Name	Beschreibung	Rechnung
Sabine		$s=12€$
Marco	Marco hat 2€ weniger als Sabine.	$s-2€=12€-2€=10€$
Volker	Volker hat doppelt so viel wie Sabine.	$2s=2\cdot 12€=24€$
Lena	Lena hat doppelt so viel wie Marco.	$2(s-2€)=2\cdot 10€=20€$
Alle zusammen	Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€	$12€+10€+24€+20€=66€\;\checkmark$

Sabine hat also $12€$ , Marco hat $10€$ , Volker hat $24€$ und Lena hat $20€$ .

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Ein Vater, seine Tochter und sein Sohn sind zusammen genauso alt wie ihre 77-jährige Oma. Der Vater ist doppelt so alt wie seine Tochter welche 3 Jahre älter ist als der Sohn. Berechne das Alter des Vaters, der Tochter und des Sohnes mithilfe einer Gleichung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung lösen
Das Alter der Tochter ist Unbekannt also Tochter = $x$ Der Vater ist doppelt so alt wie seine Tochter also Vater = $2\cdot x$ Der Sohn ist drei Jahre jünger als die Tochter also Sohn = $x-3$ Alle zusammen sind so alt wie ihre 77-jährige Oma also
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc}x&+&2 x&+&x-3&=&77\\x&+&2x&+&x-3&=&77\\&&3x&+&x-3&=&77\\&&&&4x-3&=&77&|&+3\\&&&&4x&=&80&|&:4\\&&&&x&=&20\end{array}$ Die Tochter ist $x$ , also $20$ Jahre alt. Der Vater ist 2 mal so alt, also $2\cdot20$ Der Sohn ist $3$ Jahre jünger als die Tochter, also $20-3$ Die Tochter ist 20 Jahre alt. Der Vater ist 40 Jahre alt. Der Sohn ist 17 Jahre alt.
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Beschreibe mit Worten, welche Fehler jeweils gemacht wurden.
1. $\frac12{ab}^2\cdot2a^2b={ab}\cdot\left(\frac12y+2x\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
  $a$ wurde durch $x$ und $b$ durch $y$ ersetzt und aus einem Produkt kann durch Ausklammern kein Term mit einer Summe entstehen.
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2. $-\frac12 xy^2-xy+2x^2y=-xy\left(\frac12y-2x\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammer ausmultiplizieren
  In der Klammer wurde $+1$ vergessen, was beim ausmultiplizieren $-xy$ ergibt.
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