9Beispiel: Ebene durch 3 Punkte

Stelle die Gleichung einer Ebene $E$ auf, die durch die Punkte $A(2|3|1)$, $B(1|0|1)$, $C(2|1|1)$ geht:

Wähle als Aufpunkt den Punkt $A$ und stelle die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ auf.

$\overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A}= \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC}=\vec{C}-\vec{A}= \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}$

Stelle die Ebenengleichung mit den beiden Verbindungsvektoren als Richtungsvektoren für die Ebene $E$ auf:

$E:\vec{X}=\vec{A}+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}+\mu\cdot\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}$