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Besondere Eigenschaften reellwertiger Funktionen

Hier findest du eine Liste von Eigenschaften, die manche Funktionen erfĂŒllen können. In der Schule interessiert man sich meistens fĂŒr Funktionen, die eine reelle Zahl auf eine weitere reelle Zahl abbilden, sogenannte reellwertige Funktionen. Im Folgenden wird ff immer so eine Funktion sein.

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Monotonie

Eine Funktion ist monoton bzw. auf einem Abschnitt monoton, wenn


Beschreibung in Formeln

Kurze ErklÀrung am Graphen

fĂŒr alle Stellen x<yx<y in diesem Abschnitt f(x)≀f(y)f(x) \leq f(y) gilt

oder

fĂŒr alle x<yx<y, f(x)≄f(y)f(x) \geq f(y) gilt

der Graph von ff entweder von links unten nach rechts oben,

oder

von links oben nach rechts unten verlÀuft.

Diese "Laufrichtung" muss der Graph immer erhalten.

Beispiel 1

f(x)=13x+2\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x + 2
f

ff ist in diesem Fall eine monoton steigende Funktion.

Beispiel 2

Die Funktion f(x)=12[sin(x)−x]f(x) = \frac{1}{2}[sin(x)-x], ist monoton fallend. Probiere doch an folgendem Applet aus, um rauszufinden warum das so ist.

Symmetrie

wenn


Beschreibung in Formeln

Kurze ErklÀrung am Graphen

fĂŒr alle xx gilt f(x)=f(−x)f(x) = f(-x)

oder

fĂŒr alle xx gilt f(x)=−f(−x)f(x) = -f(-x)

Der Graph von ff ist symmetrisch zur y-Achse

oder

der Graph von f ist punktsymmetrisch zum Ursprung

Beispiel 3

f(x)=13x2−4\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^2-4
achsensymmetrisch

Diese Funktion ist achsensymmetrisch.

Beispiel 4

f(x)=14x3−9x\displaystyle f(x) =\frac{1}{4}x^3-9x
Punktsymm

Diese Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Stetigkeit

Eine Funktion ff heißt stetig wenn


Beschreibung in Formeln

Kurze ErklÀrung am Graphen

lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0−f(x)\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)

an jeder Stelle x0x_0.

der Graph von ff

  • an keiner Stelle SprĂŒnge macht, oder

  • unkontrolliert oszilliert.

Der Graph der Funktion f(x)=ex⋅x4−2f\left(x\right)=e^x\cdot x^4-2 verlĂ€uft wie eine durchgezogene Linie, ohne Unterbrechung. Diesen Graphen wĂŒrde man als stetig bezeichnen.

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Die Funktion f(x)=1x2f\left(x\right)=\frac{1}{x^2} besitzt eine DefinitionslĂŒcke an der Stelle x0=0x_0=0. Infolgedessen macht der Graph der Funktion einen Sprung - er ist unstetig.

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