Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment (ein Versuch) mit zufällig bestimmtem Ergebnis, wie das Werfen einer Münze oder Würfeln eines Würfels. Ein Zufallsexperiment benötigt mindestens zwei verschiedene Ergebnisse und muss reproduzierbar sein, damit man es mathematisch beschreiben kann.

Beispiele für Zufallsexperimente

Das Werfen eines Würfels ist ein Zufallsexperiment, denn

  • es gibt mindestens zwei Ergebnisse,

  • das Ergebnis ist zufällig

  • und es ist reproduzierbar, also wieder durchführbar unter den gleichen Voraussetzungen.

Weitere Beispiele sind oft als Glücksspiele bekannt, wie Roulette, Kartenspiele, Lotto, Glücksräder oder dem Ziehen von Losen. Sie alle

  • haben mindestens zwei Ergebnisse,

  • sind zufällig (nicht vorhersehbar)

  • und reproduzierbar unter den gleichen Voraussetzungen.

Gegenbeispiel für ein Zufallsexperiment

Kein Zufallsexperiment ist dagegen das Tippen auf den Ausgang eines Fußballspiels. Alle Spieler wissen nach dem ersten Spiel mehr über die Gegenspieler, also kann das Spiel niemals unter denselben Bedingungen wiederholt werden.

Wichtige Begriffe im Zufallsexperiment

Anhand eines Würfels können die grundlegenden Begriffe anschaulich gemacht werden.

  • Ergebnis: Jeder spezifische Ausgang eines Experiments wird als Ergebnis bezeichnet. Beim Wurf eines Würfels ist der Ausgang "Es fällt eine 3." ein mögliches Ergebnis.

  • Ergebnisraum: Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Experiments heißt Ergebnisraum. Sie wird häufig mit dem griechischen Buchstaben Ω\Omega ("omega") bezeichnet. Beim Wurf eines Würfels ist der Ergebnisraum Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}

  • Ereignis: Ein Ereignis ist eine Menge, in der Ergebnisse eines Zufallsexperiments enthalten sind. Beim Wurf eines Würfels ist der Ausgang "es fällt eine ungerade Zahl" ein Ereignis. Es enthält die Ergebnisse "es fällt eine 1","es fällt eine 3", oder "es fällt eine 5". Dieses Ereignis kann als Zahlenmenge geschrieben werden: "es fa¨llt eine ungerade Zahl"={1;3;5}\text{"es fällt eine ungerade Zahl"} = \{1;3;5\}.

  • Wahrscheinlichkeit: Obwohl das Ergebnis jedes einzelnen Versuchs zufällig ist, lassen sich entweder bei hinreichend häufiger Wiederholung oder durch Symmetrieüberlegungen (o.ä.) Gesetzmäßigkeiten erkennen. Diese Gesetzmäßigkeiten kann man zur Definition von Wahrscheinlichkeiten benutzen.

Besondere Zufallsexperimente

Laplace Experiment

Bei einem Laplace Experiment sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich. Das Ziehen einer Kugel aus einer Urne ist z.B. dann ein Laplace-Experiment, wenn alle Kugeln sich weder in der Größe noch in dem Gewicht (der Temperatur, dem Material, ...) unterscheiden, sondern nur durch die Farbe. Das Würfeln mit einem normalen Würfel ist ebenfalls ein Laplace-Experiment, außer wenn der Würfel gezinkt ist.

Bernoulli Experiment

Das Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment mit speziellen Eigenschaften. Es hat immer genau zwei mögliche Ergebnisse (Treffer und Niete).

Mehrstufiges Zufallsexperiment

Wird ein Zufallsexperiment mehrfach hintereinander durchgeführt, nennt man dieses auch "mehrstufig". Im Artikel "Mehrstufige Zufallsexperimente" gibt es einige Beispiele, in denen auch besondere Eigenschaften von mehrstufigen Zufallsexperimenten gezeigt werden.

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