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Rechnen mit Einheiten

Bei Anwendungsaufgaben in der Mathematik rechnet man oft nicht nur mit Zahlen, sondern auch mit Einheiten, wie beispielsweise Kilogramm, Liter, Meter… Davon sollte man sich aber nicht abschrecken lassen, da sich Einheiten bei den Rechnungen wie Zahlen behandeln lassen. Entscheidend ist, dass man darüber nachdenkt, welche Einheit rauskommen muss und ob diese dann auch Sinn ergibt. Dabei ist z. B. bei der Berechnung von Flächen eine Größe wie m2 sinnvoll, wohingegen min2 keinen Sinn ergibt.

Hier wird deutlich, dass man Einheiten mathematisch nicht wie Zahlen behandeln kann.

VorsichtGleiche Einheiten

Bevor man anfängt loszurechnen, muss man unbedingt darauf achten, dass die Größen einheitlich sind. Größen mit unterschiedlichen Einheiten können nicht bei jeder Rechenart sinnvoll verarbeitet werden.

Einheiten addieren/ subtrahieren

Wenn man Einheiten addiert/ subtrahiert, verändern sich zwar die Ziffern, jedoch nicht die Einheiten. Diese bleiben gleich. Damit man beim Rechnen nicht verwirrt ist, kann man sich dazu die Einheit erst gedanklich wegdenken, die Ziffern addieren/ subtrahieren und dann zum Endergebnis wieder die Einheit hinzufügen.

Man kann diese Schritte mit allen Einheiten durchführen. Also mit Gewichten t,kg,g,, Größen km,m,cm,, Mengen l,ml, und Zeitangaben h,min,s,. Hier ergibt das alles Sinn, d.h. dass die Rechnung logisch ist und man etwas mit dem Ergebnis anfangen kann.

Beispiel

  • 3m+4m=7m

  • 15ml10ml=5ml

  • 7min+4min10min=1min

Einheiten multiplizieren

Beim Multiplizieren von Einheiten kann man sich das Konzept am besten anhand von der Flächenberechnung vorstellen. Wenn man z. B. eine Bodenfliese mit 1m Kantenlänge hat, rechnet man:

1m1m=1m2

und erhält so die Fläche der Fliese, nämlich 1m2. Oder anders betrachtet:

1m1m=11mm=1m2

Diese Überlegung kann man fortführen und die entstandene neue Einheit m2 bspw. mit m oder auch m2 multiplizieren, um so neue Größen zu erzeugen. Das sieht dann folgendermaßen aus:

1m21m=1m3
1m21m2=1m4

Danach kann man diese Rechnung erneut wie oben ausführen und gelangt dann so zu allen denkbaren Möglichkeiten. Es ist sogar m1000 möglich. Zum Glück braucht man so etwas erst im Mathestudium ;-)

Dass, wie gesagt, Einheiten mathematisch nicht wie Zahlen behandelt werden dürfen, zeigt sich auch hier. Ein Quadratmeter mit einem Quadratmeter zu multiplizieren, ist nicht anschaulich. Unter dem Ergebnis "m4" kann man sich nichts vorstellen.

Das geht prinzipiell mit allen Einheiten, die man bereits bei Einheiten addieren/ subtrahieren schon angesprochen hat. Also mit kg,m, aber auch mit Zeitangaben wie min und s. Hier ergibt das allerdings nicht immer alles Sinn. Das bedeutet, dass man, jedenfalls in der Mathematik, nicht mit kg2 rechnet. Hieran kann man dann auch ziemlich schnell erkennen, ob man richtig gerechnet bzw. umgeformt hat oder ob sich ein Fehler eingeschlichen hat.

Bild

Beispiel

Überlege, welchen Wert und welche Einheit das Ergebnis besitzt. Ergibt die Einheit anschaulich einen Sinn?

Entscheide dich zuerst für eine Einheit. Wir nehmen hier Meter.

200dm10m20,1km=20m10m2100m

Überlege nun, wie du vielleicht zuerst 20m und 100m multiplizierst. Lasse die 10m2 dabei zunächst stehen.

=2000m210m2

Wenn mm=m2, was ergibt dann m2m2 ?

=20000m4

Einheiten dividieren

Beim Dividieren von Einheiten kommt es darauf an, so viel zu kürzen wie möglich. Man schreibt dabei am besten die Rechnung als Bruch. So kann man am leichtesten erkennen, was sich wegkürzen lässt und was nicht. Auch hier ist es wichtig, dass man alles zuerst auf eine einheitliche Größe umrechnet.

Beispiel

Wie breit ist ein Rechteck mit der Fläche A=10m2 und der Länge l=5m?

A=lb

Stelle nach der Breite b um.

b=Al

Setze nun die Werte ein.

b=10m25m

Überlege nun, welche Einheit herauskommen soll. Richtig, die Breite misst man in Metern. Ist doch auch logisch, dass dann m2m=mmm=m ergibt, findest du nicht? Bei Produkten dürfen wir ja kürzen.

b=2m

Checkliste

  1. Achte auf einheitliche Größen.

  2. Schaue nach deiner Rechenoperation.

  3. Rechne geschickt aus. Achte auf das Wegkürzen/ Multiplizieren von deinen Größen.

Sonderfall: Nachkommastellen

Es kann sein, dass eine Aufgabe nicht nur mit ganzen Zahlen gestellt ist. Dabei können auch Nachkommastellen vorkommen. Wenn man vor einer solchen Aufgabe steht, sollte man auf jeden Fall nicht schnell das Heft zu machen. Es geht ganz einfach: Man rechnet alle Größen auf die kleinste Einheit um, um unnötig viele Kommas zu vermeiden. Dann rechnet man wie oben gelernt weiter. Am Ende vereinfacht man das Endergebnis, indem man auf eine größere Einheit erneut umrechnet.

Beispiel

Vereinheitliche deine Größen, indem du in die kleinste Einheit umrechnest.

13,5dm+12cm=135cm+12cm

Da die Einheiten gleich sind und es sich um eine Addition handelt, kannst du ganz einfach das Ergebnis ausrechnen.

=147cm

Rechne das Ergebnis auf eine größere Einheit um. Am besten so lange, bis nur eine Stelle vor dem Komma steht.

=14,7dm
=1,47m
=14,7dm=1,47m

Hier kann man auch viele Aufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades zur Umrechnung von Volumeneinheiten finden.

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