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Rechnen mit Einheiten

Bei Anwendungsaufgaben in der Mathematik rechnet man oft nicht nur mit Zahlen, sondern auch mit Einheiten, wie beispielsweise Kilogramm, Liter, Meter
 Davon sollte man sich aber nicht abschrecken lassen, da sich Einheiten bei den Rechnungen wie Zahlen behandeln lassen. Entscheidend ist, dass man darĂŒber nachdenkt, welche Einheit rauskommen muss und ob diese dann auch Sinn ergibt. Dabei ist z. B. bei der Berechnung von FlĂ€chen eine GrĂ¶ĂŸe wie m2\mathrm{m}^2 sinnvoll, wohingegen min2\mathrm{min}^2 keinen Sinn ergibt.

Hier wird deutlich, dass man Einheiten mathematisch nicht wie Zahlen behandeln kann.

VorsichtGleiche Einheiten

Bevor man anfĂ€ngt loszurechnen, muss man unbedingt darauf achten, dass die GrĂ¶ĂŸen einheitlich sind. GrĂ¶ĂŸen mit unterschiedlichen Einheiten können nicht bei jeder Rechenart sinnvoll verarbeitet werden.

Einheiten addieren/ subtrahieren

Wenn man Einheiten addiert/ subtrahiert, verĂ€ndern sich zwar die Ziffern, jedoch nicht die Einheiten. Diese bleiben gleich. Damit man beim Rechnen nicht verwirrt ist, kann man sich dazu die Einheit erst gedanklich wegdenken, die Ziffern addieren/ subtrahieren und dann zum Endergebnis wieder die Einheit hinzufĂŒgen.

Man kann diese Schritte mit allen Einheiten durchfĂŒhren. Also mit Gewichten t,kg,g,
\mathrm{t}, \mathrm{kg}, \mathrm{g}, \ldots, GrĂ¶ĂŸen km,m,cm,
\mathrm{km}, \mathrm{m}, \mathrm{cm}, \ldots, Mengen l,ml,
\mathrm{l}, \mathrm{ml}, \ldots und Zeitangaben h,min,s,
\mathrm{h}, \mathrm{min}, \mathrm{s}, \ldots. Hier ergibt das alles Sinn, d.h. dass die Rechnung logisch ist und man etwas mit dem Ergebnis anfangen kann.

Beispiel

  • 3  m+4  m=7  m3 \;\mathrm{m} + 4 \;\mathrm{m} = 7 \;\mathrm{m}

  • 15  ml−10  ml=5  ml15 \;\mathrm{ml} - 10 \;\mathrm{ml} = 5 \;\mathrm{ml}

  • 7  min+4  min−10  min=1  min7 \;\mathrm{min} + 4 \;\mathrm{min} - 10 \; \mathrm{min} = 1 \;\mathrm{min}

Einheiten multiplizieren

Beim Multiplizieren von Einheiten kann man sich das Konzept am besten anhand von der FlĂ€chenberechnung vorstellen. Wenn man z. B. eine Bodenfliese mit 1  m1\;\mathrm{m} KantenlĂ€nge hat, rechnet man:

und erhĂ€lt so die FlĂ€che der Fliese, nĂ€mlich 1  m21\;\mathrm{m}^2. Oder anders betrachtet:

Diese Überlegung kann man fortfĂŒhren und die entstandene neue Einheit m2\mathrm{m}^2 bspw. mit m\mathrm{m} oder auch m2\mathrm{m}^2 multiplizieren, um so neue GrĂ¶ĂŸen zu erzeugen. Das sieht dann folgendermaßen aus:

Danach kann man diese Rechnung erneut wie oben ausfĂŒhren und gelangt dann so zu allen denkbaren Möglichkeiten. Es ist sogar m1000\mathrm{m}^{1000} möglich. Zum GlĂŒck braucht man so etwas erst im Mathestudium ;-)

Dass, wie gesagt, Einheiten mathematisch nicht wie Zahlen behandelt werden dĂŒrfen, zeigt sich auch hier. Ein Quadratmeter mit einem Quadratmeter zu multiplizieren, ist nicht anschaulich. Unter dem Ergebnis "m4m^4" kann man sich nichts vorstellen.

Das geht prinzipiell mit allen Einheiten, die man bereits bei Einheiten addieren/ subtrahieren schon angesprochen hat. Also mit kg,m\mathrm{kg}, \mathrm{m}, aber auch mit Zeitangaben wie min\mathrm{min} und s\mathrm{s}. Hier ergibt das allerdings nicht immer alles Sinn. Das bedeutet, dass man, jedenfalls in der Mathematik, nicht mit kg2kg^2 rechnet. Hieran kann man dann auch ziemlich schnell erkennen, ob man richtig gerechnet bzw. umgeformt hat oder ob sich ein Fehler eingeschlichen hat.

Bild

Beispiel

Überlege, welchen Wert und welche Einheit das Ergebnis besitzt. Ergibt die Einheit anschaulich einen Sinn?

Entscheide dich zuerst fĂŒr eine Einheit. Wir nehmen hier Meter.

↓
200  dm⋅10  m2⋅0,1  km\displaystyle 200 \; \mathrm{dm} \cdot 10 \; \mathrm{m}^2 \cdot 0{,}1\;\mathrm{km} ==20  m⋅10  m2⋅100  m\displaystyle 20\;\mathrm{m} \cdot 10 \;\mathrm{m}^2 \cdot 100 \;\mathrm{m}
↓

Überlege nun, wie du vielleicht zuerst 20  m20\;\mathrm{m} und 100  m100\;\mathrm{m} multiplizierst. Lasse die 10  m210\;\mathrm{m}^2 dabei zunĂ€chst stehen.

==2000  m2⋅10  m2\displaystyle 2000\;\mathrm{m}^2 \cdot 10\;\mathrm{m}^2
↓

Wenn m⋅m=m2\mathrm{m} \cdot \mathrm{m} = \mathrm{m^2}, was ergibt dann m2⋅m2\mathrm{m^2} \cdot \mathrm{m^2} ?

==20000  m4\displaystyle 20000\;\mathrm{m}^4

Einheiten dividieren

Beim Dividieren von Einheiten kommt es darauf an, so viel zu kĂŒrzen wie möglich. Man schreibt dabei am besten die Rechnung als Bruch. So kann man am leichtesten erkennen, was sich wegkĂŒrzen lĂ€sst und was nicht. Auch hier ist es wichtig, dass man alles zuerst auf eine einheitliche GrĂ¶ĂŸe umrechnet.

Beispiel

Wie breit ist ein Rechteck mit der FlĂ€che A=10  m2A= 10\;\mathrm{m^2} und der LĂ€nge l=5  ml = 5\; \mathrm{m}?

Stelle nach der Breite bb um.

⇒b=Al\Rightarrow b = \frac{A}{l}

Setze nun die Werte ein.

Überlege nun, welche Einheit herauskommen soll. Richtig, die Breite misst man in Metern. Ist doch auch logisch, dass dann m2m=m⋅mm=m\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{m} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{m}} = \mathrm{m} ergibt, findest du nicht? Bei Produkten dĂŒrfen wir ja kĂŒrzen.

Checkliste

  1. Achte auf einheitliche GrĂ¶ĂŸen.

  2. Schaue nach deiner Rechenoperation.

  3. Rechne geschickt aus. Achte auf das WegkĂŒrzen/ Multiplizieren von deinen GrĂ¶ĂŸen.

Sonderfall: Nachkommastellen

Es kann sein, dass eine Aufgabe nicht nur mit ganzen Zahlen gestellt ist. Dabei können auch Nachkommastellen vorkommen. Wenn man vor einer solchen Aufgabe steht, sollte man auf jeden Fall nicht schnell das Heft zu machen. Es geht ganz einfach: Man rechnet alle GrĂ¶ĂŸen auf die kleinste Einheit um, um unnötig viele Kommas zu vermeiden. Dann rechnet man wie oben gelernt weiter. Am Ende vereinfacht man das Endergebnis, indem man auf eine grĂ¶ĂŸere Einheit erneut umrechnet.

Beispiel

Vereinheitliche deine GrĂ¶ĂŸen, indem du in die kleinste Einheit umrechnest.

↓
13,5  dm+12  cm\displaystyle 13{,}5 \; \mathrm{dm} + 12 \; \mathrm{cm} ==135  cm+12  cm\displaystyle 135 \; \mathrm{cm} + 12 \; \mathrm{cm}
↓

Da die Einheiten gleich sind und es sich um eine Addition handelt, kannst du ganz einfach das Ergebnis ausrechnen.

==147  cm\displaystyle 147 \; \mathrm{cm}
↓

Rechne das Ergebnis auf eine grĂ¶ĂŸere Einheit um. Am besten so lange, bis nur eine Stelle vor dem Komma steht.

==14,7  dm\displaystyle 14{,}7 \; \mathrm{dm}
==1,47  m\displaystyle 1{,}47 \; \mathrm{m}

Hier kann man auch viele Aufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades zur Umrechnung von Volumeneinheiten finden.

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