Symmetrisches Trapez

Ein symmetrisches Trapez (manchmal auch "gleichschenkliges Trapez" genannt) ist

  • ein (besonderes) Viereck, bei dem

  • (mindestens) zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind und

  • das achsensymmetrisch zur Mittelsenkrechten der beiden parallelen Seiten ist.

Gleichwertige Definition

  • Ein symmetrisches Trapez ist ein Trapez, bei dem die beiden Innenwinkel einer der parallelen Seiten gleich groß sind.

Eigenschaften des symmetrischen Trapezes

Besonderheiten bei Seiten, Winkeln und Diagonalen

In einem symmetrischen Trapez

  • sind die beiden Schenkel gleich lang.

In dem symmetrischen Trapez ABCDABCD gilt also:

In einem symmetrischen Trapez

  • gibt es an jeder der parallelen Seiten zwei gleich große Innenwinkel.

In dem symmetrischen Trapez ABCDABCD gilt also:

α=β\alpha=\beta γ=δ\gamma=\delta

  • ergänzen sich die Innenwinkel an den beiden Schenkeln zu 180 Grad.

α+δ=180°\alpha+\delta= 180° β+γ=180°\beta+\gamma=180°

In einem symmetrischen Trapez

In dem symmetrischen Trapez ABCDABCD gilt also:

Einordnung als Viereck

  • Jedes symmetrische Trapez ist immer auch ein Trapez,

und zwar ein (besonderes) Trapez, das achsensymmetrisch ist.

Spezialfälle von symmetrischen Trapezen

  • Wenn ein symmetrisches Trapez vier rechte Winkel hat, ist es ein Rechteck.

  • Wenn ein symmetrisches Trapez vier gleich langen Seiten hat, ist es ein Quadrat.

Eine übersichtliche Einordnung des symmetrischen Trapezes findest du im Artikel zum Haus der Vierecke.

Symmetrieeigenschaften

Punktsymmetrie

Ein symmetrisches Trapez ist im Allgemeinen nicht punktsymmetrisch.

Ausnahmen:

  • Wenn ein symmetrisches Trapez ein Rechteck (oder ein Quadrat als Spezialfall des Rechtecks) ist, ist es punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der Diagonalen.

Achsensymmetrie

Ein symmetrisches Trapez ist immer achsensymmetrisch, Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte der beiden parallelen Seiten.

Umkreis und Inkreis

Umkreis Ein symmetrisches Trapez hat immer einen Umkreis.

Kein Inkreis Ein symmetrisches Trapez hat im Allgemeinen keinen Inkreis. Es gibt aber Ausnahmen, zum Beispiel wenn das symmetrische Trapez ein Quadrat ist.

Flächeninhalt und Umfang

Flächeninhalt

Die Fläche eines symmetrischen Trapezes ist das Produkt von Höhe und der halben Summe der beiden zueinander parallelen Seiten:

Wenn man ein symmetrisches Trapez verdoppelt und das Zweite um 180° gedreht an das Erste legt, ensteht ein Parallelogramm mit der Grundlinie (a+c). Durch das Anwenden der Flächenformel eines Parallelogramma erhält man die oben genannte Formel.

Umfang

Der Umfang eines symmetrischen Trapezes ist die Summe der Seitenlängen. Da die beiden Schenkel die gleiche Länge haben ist der Umfang gegeben durch


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