In der Strahlensatzfigur $ADC$ (Teildreieck des Vierecks $ABCD$) teilen die Mittelpunkte die Strahlen $[DA$ und $[DC$ im gleichen Verhältnis 1:1. Die Seite $[M_1M_2]$ ist demnach parallel zu $[AC]$, der Diagonalen des Vierecks.

Gleiches gilt für die drei anderen Seiten des Mittelpunktsvierecks. Dessen Seiten sind somit paarweise parallel zu einer Diagonalen des Vierecks (und im Übrigen gerade halb so lang wie diese.)

Das Mittelpunktsviereck ist also stets ein Parallelogramm.

Da die Seiten des Mittelpunktsvierecks parallel zu den Diagonalen des ursprünglichen Vierecks sind, ist der spitze Eckwinkel des Mittelpunktsvierecks so groß wie der spitze Winkel, in dem sich die Diagonalen des ursprünglichen Vierecks schneiden. Also ist $\alpha=\beta$.

$\quad \quad \quad \quad$

Das Mittelpunktsviereck eines Quadrats ist wieder ein Quadrat.

Begründung:

Die Diagonalen des (ursprünglichen) Quadrats sind gleich lang und stehen aufeinander senkrecht.

Damit sind die Seiten des Mittelpunktsvierecks auch gleich lang (halb so lang wie die ursprünglichen Diagonalen) und stehen aufeinander senkrecht.

Damit ist das Mittelpunktsviereck eines Quadrats wieder ein Quadrat.

(Zusatz: Mit halb so großem Flächeninhalt wie das ursprüngliche Quadrat.)

Das Mittelpunktsviereck eines Rechtecks ist eine Raute.

Begründung:

Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang, stehen aber nicht aufeinander senkrecht.

Damit sind die vier Seiten des Mittelpunktsvierecks gleich lang. Die Eckwinkel sind aber nicht 90°.

Damit ist das Mittelpunktsviereck eines Rechtecks eine Raute (und kein Quadrat.)

(Zusatz: Der Flächeninhalt der Raute ist halb so groß wie der des ursprünglichen Rechtecks.)

$\quad \quad \quad$

Das Mittelpunktsviereck einer Raute ist ein Rechteck.

Begründung:

Die Diagonalen einer Raute stehen aufeinander senkrecht, sind aber nicht gleich lang.

Damit sind die Eckwinkel des Mittelpunktsvierecks rechte Winkel und die Seiten paarweise verschieden lang.

Das Mittelpunktsviereck einer Raute ist somit ein Rechteck.

(Zusatz: Der Flächeninhalt des Rechtecks ist halb so groß wie der Flächeninhalt der ursprünglichen Raute.)