Lösung zur Teilaufgabe A 2.1

Für diese Aufgabe benötigst du Vorwissen über Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen.

Gesucht ist ein Faktor $k\in \mathbb{R}\setminus \{0\}k\backslash in\backslash mathbb\{R\}\backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}$, sodass $f_2=k\cdot f_{1}f\_2=k\backslash cdot\; f\_1$. Durch Vergleich der Vorfaktoren des $(x+3{)}^{-2}(x+3)^\{-2\}$-Terms erkennst du, dass

Du kannst dir das Ganze auch nochmal in dem Applet unten anschauen:

Von der Funktionsgleichung

$f_2(x)=-4\cdot (x+3{)}^{-2}+1f\_2(x)=-4\backslash cdot(x+3)^\{-2\}+1$

erkennst du eine senkrechte Asymptote bei $x=-3x=-3$, denn dort erhältst du $x+3=0x+3=0$, sodass du durch $00$ teilen würdest.

Für die waagerechte Asymptote benutzt du, dass im Term $(x+3{)}^{-2}(x+3)^\{-2\}$ der Nennergrad um zwei größer als der Zählergrad ist und daher dieser Term asymptotisch nichts beiträgt. Du folgerst daher, dass die Asymptote durch die Verschiebung in $yy$-Richtung, also hier $+1+1$, gegeben ist. Zusammenfassend erhalten wir:

Lösung zur Teilaufgabe A 2.2

In dieser Aufgabe verwendest du Resultate über Rauten; insbesondere musst du wissen, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen sowie, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

Du startest mit dem Eintragen des Punktes $A_1(\mathrm{0,5}\mathrm{\mid }10\cdot (\mathrm{0,5}+3{)}^{-2}-\mathrm{2,5})A\_1(0\{,\}5|10\backslash cdot(0\{,\}5+3)^\{-2\}-2\{,\}5)$ in das Koordinatensystem. Natürlich kannst du die $yy$-Koordinate des Punktes $A_{1}A\_1$ auch explizit ausrechnen. Das ist hier jedoch gar nicht notwendig, denn der Punkt liegt per Definition auf dem Graphen der Funktion $f_{1}f\_1$. Das heißt, du markierst den Punkt mit $xx$-Wert $x=\mathrm{0,5}x=0\{,\}5$ auf dem Graphen von $f_{1}f\_1$.

Genauso verfährst du für den Punkt $M_1(\mathrm{0,5}\mathrm{\mid }-4\cdot (\mathrm{0,5}+3{)}^{-2}+1)M\_1(0\{,\}5|-4\backslash cdot(0\{,\}5+3)^\{-2\}+1)$, welcher auf dem Graphen von $f_{2}f\_2$ liegt. Nun spiegelst du die Strecke $[A_1{M}_1][A\_1M\_1]$ an $M_{1}M\_1$ und erhältst so den Eckpunkt $C_{1}C\_1$, welcher $A_{1}A\_1$ gegenüberliegt.

Abschließend zeichnest du eine auf der Strecke $[A_1{C}_1][A\_1C\_1]$ senkrecht stehende Gerade, welche durch $M_{1}M\_1$ verläuft. Dort trägst du nun von $M_{1}M\_1$ ausgehend in beide Richtungen jeweils $\overline{B_1{D}_1}:2=4:2=2\backslash overline\{B\_1D\_1\}:2=4:2=2$ LE ab. Dies ergibt die verbliebenen Eckpunkte $B_{1}B\_1$ und $D_{1}D\_1$.

Zusammengefasst siehst du die Konstruktion in der folgenden Skizze:

Lösung zur Teilaufgabe A 2.3

Der Kernpunkt der Lösung ist die Tatsache, dass für die Länge der Strecke $[A_n{C}_n][A\_nC\_n]$ gilt

$\overline{A_n{C}_n}=2\cdot \overline{A_n{M}_n}\backslash overline\{A\_nC\_n\}=2\backslash cdot\backslash overline\{A\_nM\_n\}$.

Da die Punkte $A_{n}A\_n$ und $M_{n}M\_n$ stets die gleiche $xx$-Koordinate besitzen, ist die Länge der Strecke $[A_n{M}_n][A\_nM\_n]$ durch die Differenz der $yy$-Koordinaten gegeben. Damit berechnest du:

Lösung zur Teilaufgabe A 2.4

Hier benötigst du Kenntnisse über Trapeze und die Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken.

Die Bezeichnung "Trapez" in der Aufgabenstellung ist nichts als eine allgemeinere Bezeichnung für "Raute" und du brauchst nicht die Formelsammlung zücken, um die Formel für den Flächeninhalt allgemeiner Trapeze nachzuschlagen. Stattdessen überlegst du dir zunächst, dass die Raute $A_n{B}_n{C}_n{D}_{n}A\_nB\_nC\_nD\_n$ aus den beiden kongruenten Dreiecken $A_n{B}_n{C}_{n}A\_nB\_nC\_n$ und $A_n{C}_n{D}_{n}A\_nC\_nD\_n$ besteht. Daher reicht es den Flächeninhalt des Dreiecks $A_n{B}_n{C}_{n}A\_nB\_nC\_n$ zu berechnen und diesen abschließend zu verdoppeln.

Erinnere dich zunächst an die nützliche Formel

$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot hA\_\backslash triangle=\backslash frac\; 12\backslash cdot\; g\backslash cdot\; h$

zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken. Hier bezeichnet $gg$ die Grundseite (also eine beliebige Seite des Dreiecks) und $hh$ die zugehörige Höhe. Du wählst als Grundseite $[A_n{C}_n][A\_nC\_n]$ und als Höhe $[M_n{B}_n][M\_nB\_n]$. Die Formel für $\overline{A_n{C}_n}(x)\backslash overline\{A\_nC\_n\}(x)$ hast du bereits in Teilaufgabe A2.4 bestimmt und für $\overline{M_n{B}_n}\backslash overline\{M\_nB\_n\}$ benutzt du das Resultat aus der Konstruktion von Teilaufgabe A2.3, dass diese Strecke die Länge $2\mathrm{L}\mathrm{E}2\backslash ,\backslash mathrm\{LE\}$ hat.

Nun setzt du alles zusammen und erhältst

Lösung zur Teilaufgabe A 2.5

Hier musst du geschickt mit Ungleichungen rechnen.

Du nimmst die Formel von Teilaufgabe A2.4

und überlegst dir, dass für $x>-1x>-1$ stets

gilt. [In der Tat gilt das für alle reelle Zahlen, ⁣ mit $x\in \mathbb{R}x\backslash in\backslash mathbb\{R\}$, mit Ausnahme der Definitionslücke $x=-3x=-3$ der linken Seite.]

Damit folgt nun

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.