Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Verwende das Skalarprodukt, um zu prüfen, ob die Vektoren $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CB}$ orthogonal zueinander sind:

⟹ rechter Winkel bei $\text{}C$.

Zunächst sollte dir auffallen, dass $A$ und $B$ symmetrisch bezüglich der $x_1{x}_3$-Ebene sind. Außerdem weißt du, dass $C$ auf der $x_2$-Achse liegt und dass im Dreieck $ABC$ bei $C$ ein rechter Winkel ist.

Um $D$ zu erhalten, musst du $C$ an der $x_1{x}_3$-Ebene spiegeln, $D$ hat also die Koordinaten $(0|-2|0)$.

Du kannst die Lage von $D$ mit der Symmetrie von $A$ und $C$ bezüglich der $x_1{x}_3$-Ebene begründen.

Bestimme zunächst die Schnittpunkte der Ebene $E$ mit der $x_1$-Achse und $x_2$-Achse:

1. Schnittpunkt mit der $x_1$-Achse:Der Schnittpunkt mit der $x_1$-Achse, $S_{x_1}$, hat die Koordinaten $(p|0|0)$, wobei $p\in ℝ$. Setze $S_{x_1}$ in die Ebenengleichung ein, um $p$ zu berechnen:

   $$2p=-18$$
   $$p=-9$$

   $⟹S_{x_1}$ hat die Koordinaten $(-9|0|0)$.

2. Schnittpunkt mit der $x_2$-Achse: Der Schnittpunkt mit der $x_2$-Achse, $S_{x_2}$, hat die Koordinaten $(0|q|0)$, wobei $q\in ℝ$. Wenn du $S_{x_2}$ in die Ebenengleichung einsetzt, erhältst du $q=-18$.

   $⟹$ $S_{x_2}$ hat die Koordinaten $(0|-18|0)$.

Das sich ergebende Dreieck ist rechtwinklig. Du kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel $A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$ berechnen, wobei $a$ und $b$ die Katheten sind. Die beiden Katheten liegen auf der $x_1$- bzw. der $x_2$-Achse. Da die Schnittpunkte mit diesen Achsen eine Entfernung von $|-9|$ bzw. $|-18|$ vom Ursprung haben, sind die Seitenlängen der Katheten $9$ und $18$. Der Flächeninhalt ist also

Alternativ kannst du auch die Formel $A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{S_{x_1}}\times \overrightarrow{S_{x_2}}|$ für die Berechnung des Flächeninhalts benutzen.

Stelle zunächst die Lotgerade l zu $E$ durch den Ursprung auf. Aus der Koordinatenform von $E$ kannst du den Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ ablesen, der der Richtungsvektor der Lotgeraden ist. Als Ortsvektor der Lotgeraden kannst du den Ursprung verwenden; dann erhältst zu die folgende Geradengleichung:

Berechne jetzt den Ortsvektor des Schnittpunkts $S$ der Lotgeraden mit der Ebene $E$. Setze hierfür $l$ in die Koordinatenform von $E$ ein:

Setze $\lambda =-2$ in $l$ ein:

$\overrightarrow{S}$ ist Ortsvektor des Punkts $S$, der in $E$ liegt, und zugleich Normalenvektor von $E$