Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

Lösung zur Teilaufgabe a)

Berechne den Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$ der Geraden $AB$:

Die $x_3$-Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ist $0$, das heißt, dass die $x_3$-Koordinate für alle Punkte auf $AB$ gleich ist. Deshalb muss $AB$ parallel zur $x_1x_2$-Ebene verlaufen.

Lösung zur Teilaufgabe b)

Das Viereck ist ein Rechteck, wenn alle Ecken rechte Winkel besitzen. Um das zu prüfen, kannst du die Kantenvektoren bestimmen und deren Skalarprodukte berechnen (bei einem rechten Winkel ergibt das Skalarprodukt Null).

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}=\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}=\begin{pmatrix}-6\\2\\4\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{D} - \overrightarrow{C}=\begin{pmatrix}-2\\-6\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}=\begin{pmatrix}-6\\2\\4\end{pmatrix}$

Da alle vier Ecken einen rechten Winkel besitzen, handelt es sich bei $ABCD$ um ein Rechteck.

Berechnung von $M$

Da $ABCD$ ein Rechteck ist, ist $M$ der Mittelpunkt der beiden Strecken $[AC]$ und $[BD]$.

$\overrightarrow{M}=\frac{1}{2} (\overrightarrow{A}+\overrightarrow{C})=\frac{1}{2} (\overrightarrow{B}+\overrightarrow{D})=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-4\\8\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\4\\3\end{pmatrix}$

Lösung zur Teilaufgabe c)

Bestimme zunächst den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$:

$\overrightarrow{n_E}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-6\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24\\-8\\40\end{pmatrix}=8\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}$

Setze $\overrightarrow{n_E}$ und $\overrightarrow{A}$ in die Ebenengleichung in Normalform ein:

$E:\;\overrightarrow{n_E}\circ(\overrightarrow{ x}-\overrightarrow{A})=0\;$

$E: \begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3-1\end{pmatrix}=3x_1-x_2+5x_3-5=0$

Lösung zur Teilaufgabe d)

Verwende die Normalenvektoren der Ebenen $E$ und $x_1x_2$, um den Winkel zwischen diesen beiden Ebenen zu berechnen. Ein Normalenvektor der $x_1x_2$-Ebene ist $\overrightarrow{n_{x_1x_2}}= \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.

Den Winkel zwischen $\overrightarrow{n_E}$ und $\overrightarrow{n_{x_1x_2}}$ kannst du mit dem Skalarprodukt berechnen.

$\cos(\varphi)=\frac{\overrightarrow{n_E}\circ\overrightarrow{n_{x_1x_2}}}{\left|\overrightarrow{n_E}\right|\left|\overrightarrow{n_{x_1x_2}}\right|}=\frac{5}{\sqrt{35}}$

$\Longrightarrow\varphi\approx 32{,}31°$

$\Longrightarrow\varphi$ ist zwischen $30°$ und $36°$, die Bedingung ist also erfüllt.

Lösung zur Teilaufgabe e)

Zur Berechnung des Flächeninhalts des Schattens benötigst du beide Seitenlängen. Die Skizze veranschaulicht, dass eine Seitenlänge dem Abstand zwischen $A$ und $B$ entspricht, also $|\overrightarrow{AB}|$ ist. Die zweite Seitenlänge kannst du durch das Dreieck $ADF$ berechnen, das bei $D$ einen rechten Winkel besitzt. Für rechtwinklige Dreiecke gilt folgende Beziehung:

Hier bedeutet das

Diese Gleichung kannst du nach der gesuchten Seitenlänge, $|\overrightarrow{AF}|$, auflösen.

Jetzt kennst du die Seitenlängen des Schattens. Du musst beide allerdings noch mit $0{,}8\;\text{m}$ multiplizieren, da jede Längeneinheit im Koordinatensystem $0{,}8\;\text{m}$ in der Realität entspricht.

Durch Multiplikation der Seitenlängen erhältst du für den Flächeninhalt des Schattens den Term $|\vec{AB}|\cdot\frac{|\vec{AD}|}{\cos{\varphi}}\cdot(0{,}8\;\text{m})^2$.

Lösung zur Teilaufgabe f)

Der Mittelpunkt des Kreises, auf dem sich $A$ bewegt, liegt auf der Geraden $g$, die orthogonal zur $x_1x_2$-Ebene ist und durch den Punkt $M$ geht. $g$ hat die Geradengleichung

Jetzt kannst du den Abstand $d$ von $A$ zu $g$ berechnen.

$d=\frac{\left|\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\right)\times\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left|\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|}=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{1}}=2\sqrt{5}$