Aufgaben zum Sinussatz und Kosinussatz

Insbesondere benötigst du folgende Regeln:

• Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren sich.

• Benachbarte Winkel ergänzen sich zu $180^\circ$.

Zielgleichung vereinfachen

Um später weniger rechnen zu müssen, kannst du die Gleichung durch Ausklammern und Kürzen vereinfachen:

Fehlende Größen berechnen

Die Längen von $e$ und $f$ kannst du mit dem Kosinussatz berechnen. Es gilt:

In einem Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel zu 180°. Also ist $\beta= 180° - \alpha$. Zusammen mit den Supplementbeziehungen für Sinus und Kosinus gilt:

$\cos(\beta) = \cos(180°-\alpha) = -\cos(\alpha)$ und damit schließlich:

Damit berechnest du die Werte von $e^2, f^2$ bzw. $e, f$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lr}e^2 = 100 - 96\cdot\cos(\alpha) \approx 67{,}17; & e \approx 8{,}20\\ f^2 = 100 + 96 \cdot \cos(\alpha) \approx 132{,}83;& f \approx 11{,}53 \end{array}$

Einsetzen in die Zielgleichung

Einsetzen in die Zielgleichung $a^2 = \frac{1}{4}\left(e^2 + f^2\right) - \frac{e\cdot f}{2}\cdot\cos(\varepsilon)$ ergibt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcll}& 36 & \approx &50 - 47{,}273 \cos(\varepsilon)& |-50\\ \Leftrightarrow& -14 & \approx & - 47{,}273 \cos(\varepsilon)& |: (-47{,}273) \\ \Leftrightarrow& \cos(\varepsilon)& \approx &0{,}2962\\\Leftrightarrow& \varepsilon& \approx & 72{,}77°\end{array}$

Der gesuchte Winkel $\varepsilon$ hat die Größe 72,77°.