Aufgaben zum Sinussatz und Kosinussatz

Insbesondere benötigst du folgende Regeln:

Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren sich.
Benachbarte Winkel ergänzen sich zu $180^\circ$ .

Zielgleichung aufstellen

Zunächst suchen wir eine Gleichung, die den gesuchten Winkel $\varepsilon$ enthält. Im Parallelogramm sind zunächst nur die Seitenlängen $a$ und $b$ sowie der Winkel $\alpha$ bekannt. Da die Seite $a$ dem gesuchten Winkel gegenüberliegt, bietet sich der Kosinussatz für $a$ an.

Da sich in einem Parallelogramm die Diagonalen halbieren, haben die Seiten, die am Winkel $\varepsilon$ anliegen, die Länge $\frac{e}{2}$ bzw. $\frac{f}{2}$ . Die Zielgleichung ist also:

$a^2=\left(\dfrac{e}{2}\right)^2+\left(\dfrac{f}{2}\right)^2-2\cdot \dfrac{e}{2}\cdot \dfrac{f}{2}\cdot \cos(\varepsilon)$

Zielgleichung vereinfachen

Um später weniger rechnen zu müssen, kannst du die Gleichung durch Ausklammern und Kürzen vereinfachen:

\displaystyle a^2 = \frac{1}{4}\left(e^2 + f^2\right) - \frac{e\cdot f}{2}\cdot \cos(\varepsilon)

Fehlende Größen berechnen

Die Längen von $e$ und $f$ kannst du mit dem Kosinussatz berechnen. Es gilt:

\displaystyle a^2 = \frac{1}{4}\left(e^2 + f^2\right) - \frac{e\cdot f}{2}\cdot \cos(\varepsilon)

\displaystyle a^2 = \frac{1}{4}\left(e^2 + f^2\right) - \frac{e\cdot f}{2}\cdot \cos(\varepsilon)

In einem Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel zu $180°$ . Also ist $\beta= 180° - \alpha$ . Zusammen mit den Supplementbeziehungen für Sinus und Kosinus gilt:

$\cos(\beta) = \cos(180°-\alpha) = -\cos(\alpha)$

Damit berechnest du die Werte von $e^2, f^2$ bzw. $e, f$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lr}e^2 = 100 - 96\cdot\cos(\alpha) \approx 67{,}17; & e \approx 8{,}20\\ f^2 = 100 + 96 \cdot \cos(\alpha) \approx 132{,}83;& f \approx 11{,}53 \end{array}$

Einsetzen in die Zielgleichung

Einsetzen in die Zielgleichung $a^2 = \frac{1}{4}\left(e^2 + f^2\right) - \frac{e\cdot f}{2}\cdot\cos(\varepsilon)$ ergibt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcll}& 36 & \approx &50 - 47{,}273 \cos(\varepsilon)& |-50\\ \Leftrightarrow& -14 & \approx & - 47{,}273 \cos(\varepsilon)& |: (-47{,}273) \\ \Leftrightarrow& \cos(\varepsilon)& \approx &0{,}2962\\\Leftrightarrow& \varepsilon& \approx & 72{,}77°\end{array}$

Der gesuchte Winkel $\varepsilon$ hat die Größe $72{,}77°$ .