Aufgaben zum exponentiellen Wachstum

1

Bei einem radioaktiven Stoff zerfällt jedes Jahr 10% der noch vorhandenen Masse. Berechne, wie viel nach 10 Jahren noch vorhanden ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum

Wenn jedes Jahr 10% zerfallen, dann sind im Umkehrschluss nach jedem Jahr noch 90% vom Vorjahr vorhanden. Wir bezeichnen die Masse des Stoffes im Jahr 0 mit $m_0$ , im Jahr 1 mit $m_1$ , im Jahr 2 mit $m_2$ …, im Jahr 10 mit $m_{10}$ .

Jahr	noch vorhandene Masse
0	$m_0$
1	$m_1=0{,}9 \cdot m_0$
2	$m_2=0{,}9 \cdot m_1=0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot m_0 = (0{,}9)^2\cdot m_0$
3	$m_3=0{,}9 \cdot m_2=0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot m_0 = (0{,}9)^3\cdot m_0$
$\vdots$	$\vdots$
9	$m_9=0{,}9 \cdot m_8=0{,}9\cdot (0{,}9^8 \cdot m_0)=0{,}9^9m_0$
10	$m_{10}=0{,}9 \cdot m_9=0{,}9\cdot (0{,}9^9 \cdot m_0)=0{,}9^{10} \cdot m_0$

$m_{10}=0{,}9 \cdot m_9=0{,}9^{10} \cdot m_0$ $\approx 0{,}3487 \cdot m_0$

Nach 10 Jahren sind also etwa 34,87% des ursprünglichen Materials vorhanden.

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2

Derzeit gibt es kein politisches System auf der Erde, das nicht auf Wirtschaftswachstum setzt. $4\ \%$ Wachstum gelten als wünschenswert und maßvoll: also jedes Jahr $4\ \%$ mehr im Vergleich zum Vorjahr. Um wie viel Prozent wäre also bei diesem Wachstum die Wirtschaft nach…

… 2 Jahren gewachsen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
$4\%$ -iges Wachstum bedeutet, dass die Wirtschaftskraft das $1{,}04$ fache vom Vorjahr beträgt.
Nach 2 Jahren also das $1{,}04\cdot 1{,}04=1{,}0816$ fache vom Ausgangsjahr. Das entspricht einem Zuwachs von $8{,}16\%$
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… 10 Jahren gewachsen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
$1{,}04^{10}=1{,}48024.$ Sie wäre also rund um das $1{,}5$ -fache gewachsen. Der Zuwachs wäre $48\%$ .
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… 50 Jahren gewachsen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Lösung: $1{,}04^{50}=7{,}10668$
Nach 50 Jahren müsste sich die Wirtschaftsleistung etwa versiebenfacht haben. Fragt sich nur, wo da die Resourcen herkommen sollen…
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3

Hans eröffnet am 1. Januar ein Konto und zahlt darauf $500\ €$ ein.

Er erhält jährlich $2{,}5\ \%$ Zinsen, die er am Ende des Jahres jeweils auf das Konto gutschreiben lässt

Wie lautet der Kontostand nach 1, 2, 5 bzw. 10 Jahren?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Allgemeine Formel für exponentielles Wachstum:
Wachstumsfaktor: $b\ =\ 1{,}025$
Anfangswert: $a = 500\;$
Exponent: $\left[t\right]$ in Jahren
$\left[y\right]$ in Euro
Erhält Hans jährlich $2{,}5\%$ Zinsen auf sein Kapital so beträgt sein Kontostand das $1{,}025$ -fache des vorherigen Betrags von $500$ Euro.
Gesucht ist jeweils $y$ , wenn die Werte $1, 2, 5$ und $10$ für $t$ eingesetzt werden
Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = $1$
Nach einem Jahr ist sein Kontostand um das genau $1{,}025^1$ -fache des vorherigen Betrages gestiegen.
$500\cdot1{,}025^1=512{,}50 \;\text{Euro}$
Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = $2$
Nach zwei Jahren wird auf den vorherigen bezinsten Betrag erneut das $1{,}025$ fache aufgeschlagen. Ein Zuwachs von $1{,}025\cdot1{,}025\;$ also $5{,}1\%$ .
$500\cdot1{,}025^2=525{,}31 \;\text{Euro}$
Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = 5
$500\cdot1{,}025^5=565{,}70 \; \text{Euro}$
Exponent= $\left[t\right]$ in Jahren = 10
$500\cdot1{,}025^{10}=640{,}04\; \text{Euro}$
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Wie lange müsste Hans warten, damit sich sein Anfangskapital von $500\ €$ verdoppelt hat?

4

Bakterien vermehren sich durch Teilung, wobei sich eine Bakterienzelle durchschnittlich alle 10 Minuten teilt. Zum Zeitpunkt $t=0$ sei genau eine Bakterienzelle vorhanden.

Wie viele Bakterien sind dann nach 1 Stunde, 2 Stunden, 6 Stunden, 12 Stunden bzw. 24 Stunden vorhanden?

Finde eine Formel für die Anzahl $N= N(t)$ der Bakterien nach der Zeit $t$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
$1\cdot 1{,}072^t=N\left(t\right)$
Siehe 1. Teilaufgabe.
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Eine Bakterienzelle hat ein Volumen von ca. $2 \cdot 10^{-18}\;\mathrm m^3$ . Wie lange dauert es, bis die Bakterienkultur ein Volumen von $1\ m^3$ bzw. $1\ km^3$ einnimmt? Beurteile dein Ergebnis kritisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
1. Volumen
Formel:
$2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1{,}072^t=1\,m^3$
$1{,}072^t$ entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen $1m^3$ gleichgesetzt.
$1{,}072^t=5\cdot 10^{17}$
Logarithmiere.
$\log _{1{,}072}\left(5\cdot 10^{17}\right)\approx 586{,}16$
Rechne $586{,}16$ Minuten in Stunden um.
⇒ Es dauert ca. 9,77 Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von $1m^3$ erreicht hat.
2. Volumen
$2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1{,}072^t=1000000000\,m^3$
$1{,}072^t$ entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen $1000000000\,m^3$ gleichgesetzt.
$1{,}072^t=5\cdot 10^{26}$
Logarithmiere.
$\log _{1{,}072}\left(5\cdot 10^{26}\right)=884{,}22$
⇒ Es dauert ca. 14,74 Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von $1000000000\,m^3$ erreicht hat.
Vor allem letzteres Ergebnis ist kritisch zu betrachten, da das Labor selbst kaum ein Volumen von $1 \, km^3$ hat, sondern viel kleiner ist. Selbst wenn man merken würde, dass eine Bakterienkultur auf $1 \, m^3$ anwächst, würde man dagegen etwas unternehmen! Trotzdem ist es interessant zu sehen, dass es theoretisch nur etwa $13$ Stunden dauern würde, bis sich Bakterien derart vermehren.
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5

Ein Taucher interessiert sich wegen Unterwasseraufnahmen dafür, welche Helligkeit in verschiedenen Tiefen herrscht.

Messungen in einem bestimmten (recht trüben) See ergeben, dass die Helligkeit pro Meter Wassertiefe um ca. 17% abnimmt.

Für diese Aufgabe musst du dich mit exponentiellem Wachstum auskennen

allg. Formel $H_0\cdot b^x=H$

Abnahmefaktor $b=0{,}83$

Anfangswert $H_0=1$ $\left(=100\%\right)$

Exponent= $\left[x\right]$ in Metern

$\left[H\right]$ in Prozent

Wie groß ist die Helligkeit in 1m, 2m, 5m bzw. 10m Tiefe, verglichen mit der Helligkeit an der Wasseroberfläche?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
$x=1\ \text{m}$
$100\%\cdot0{,}83=83\%$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
$x=2\ \text{m}$
$83\%\cdot0{,}83\cdot0{,}83=68{,}89\%$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
$x=5\ \text{m}$
$68{,}89\%\cdot0{,}83\cdot0{,}83\cdot0{,}83=39{,}39\%$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
$x=10\ \text{m}$
$39{,}39\%\cdot0{,}83^5=15{,}52\%$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
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Beschreiben sie die Helligkeit H als Funktion der Wassertiefe x als Bruchteil der Helligkeit ${\mathrm H}_0$ an der Wasseroberfläche.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
Formel: $H_0\cdot0{,}83^x=H$
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In welcher Tiefe beträgt die Helligkeit weniger als $0{,}01\cdot{\mathrm H}_0$ ?

6

Beim Reaktorunglück von Tschernobyl wurde eine Menge von etwa $400\ g$ radioaktiven Jod 131 freigesetzt.

Dieses Jod 131 hat eine sogenannte Halbwertszeit von 8,0 Tagen, d.h. in jeweils 8,0 Tagen halbiert sich die Menge des noch vorhandenen radioaktiven Materials Jod 131.

Allg. Formel: $M\left(0\right)\cdot b^t=M\left(t\right)$

Anfangswert a = $400g$ $=M\left(0\right)$

Zeit $\left[t\right]$ in Tagen

$M\left(t\right)\;in\;g$

$M\left(8\right)=200g$

Wie kann man die Menge $\mathrm M=\mathrm M\left(\mathrm t\right)$ des radioaktiven Jods 131 als Funktion der Zeit $t$ angeben?

Welcher Prozentsatz der ursprünglich vorhandenen Menge ${\mathrm M}_0=400\mathrm g$ war nach einem Tag bzw. nach 30 Tagen noch vorhanden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
$M\left(1\right)=400g\cdot 0{,}917^1 = 366{,}8g$
Das entspricht einem Anteil der ursprünglichen Menge von:
$\frac{366{,}8}{400}=0{,}917=91{,}7\%$
$M\left(30\right)=400g\cdot0{,}917^{30} \approx29{,}73$
Das entspricht einem Anteil der ursprünglichen Menge von:
$\frac{29{,}73}{400}\approx0{,}074=7{,}4\%$
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Wie lange musste man etwa warten, bis von den 400g Jod 131 nur noch 1 Milligramm vorhanden war?

7

Bierschaumzerfall

Bei einer schlecht eingeschenkten Maß Bier beträgt die Schaumhöhe anfangs $10\ cm$ . Um das Bier einigermaßen trinken zu können, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumhöhe auf die Hälfte zurückgegangen.

Stelle die Zerfallsgleichung für den Bierschaumzerfall auf.

Berechne, wann die Schaumhöhe auf $1\ cm$ zurückgegangen ist.

Bei einem anderen Gast beträgt die Schaumhöhe nach drei Minuten noch $3\ cm$ . Wie war die Schaumhöhe nach dem Einschenken?

Mache plausibel, wann der Zerfall am stärksten ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Die Zerfallsfunktion ist eine Exponentialfunktion mit einer Basis, die kleiner $1$ ist.
Am Graphen erkennst du, dass der Zerfall am Anfang am stärksten ist.
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$\displaystyle 500\cdot1{,}025^t$	$=$	$\displaystyle 1000$	$\displaystyle :\ 500$
$\displaystyle 1{,}025^t$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \cdot\log\left(\right)$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle \log_{1{,}025}\left(2\right)$	$=$	$\displaystyle t$
$\displaystyle t$	$≈$	$\displaystyle 28{,}1\;\text{Jahre}$

$\displaystyle 1\cdot b^{10}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \sqrt[10]{}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle \sqrt[10]{2}$	$=$	$\displaystyle b$
$\displaystyle 1{,}072$	$≈$	$\displaystyle b$

$\displaystyle 0{,}01 \cdot H_0$	$=$	$\displaystyle H$
$\displaystyle 0{,}01 \cdot H_0$	$=$	$\displaystyle H_0 \cdot 0{,}83^x$	$\displaystyle \colon H_0$
	↓	Kürze $H_0$ heraus.
$\displaystyle 0{,}01$	$=$	$\displaystyle 0{,}83^x$	$\displaystyle \log_{0{,}83}()$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle \log_{0{,}83}\left(0{,}01\right)$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle 24{,}72\ \text{m}$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle 400g\ \cdot b^8$	$=$	$\displaystyle 200g$	$\displaystyle \colon 400g$
$\displaystyle b^8$	$=$	$\displaystyle \frac12$	$\displaystyle \sqrt[8]{}$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \sqrt[8]{\frac12}$
$\displaystyle b$	$≈$	$\displaystyle 0{,}917$

$\displaystyle \frac{1}{1000}g$	$=$	$\displaystyle 400 g \cdot 0{,}917^t$	$\displaystyle \colon 400 g$
$\displaystyle \frac{1}{400000} g$	$=$	$\displaystyle 0{,}917^t$	$\displaystyle \log_{0{,}917}$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle \log _{0{,}917}\left(\frac{1}{400000}\right)$	$=$	$\displaystyle t$
$\displaystyle 148{,}87$	$=$	$\displaystyle t$

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Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = $1$

Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = $2$

Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = 5

Exponent= $\left[t\right]$ in Jahren = 10

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Gesucht ist der Wachstumsfaktor b

Die Formel für die Bakterien nach einer bestimmten Zeit t ist also gegeben durch:

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1. Volumen

2. Volumen

$2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1{,}072^t=1000000000\,m^3$

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Gesucht ist der Abnahmefaktor b

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$\displaystyle 0{,}5\cdot10$	$=$	$\displaystyle 10\cdot(1-p)^3$	$\displaystyle \colon 10$
$\displaystyle 0{,}5$	$=$	$\displaystyle (1-p)^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$	$=$	$\displaystyle 1-p$	$\displaystyle +p-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 1-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 10\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t$	$\displaystyle \colon 10$
$\displaystyle 0{,}1$	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t$	$\displaystyle \log_{\left(\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}}\right)}$
$\displaystyle \log_{\left(\sqrt[3]{\tfrac12}\right)}{0{,}1}$	$=$	$\displaystyle t$
$\displaystyle 10$	$≈$	$\displaystyle t$

$\displaystyle f_0\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^3$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle f_0\cdot \frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle f_0$	$=$	$\displaystyle 6$

Aufgaben zum exponentiellen Wachstum

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Exponent = [t]\left[t\right][t] in Jahren = 111

Exponent = [t]\left[t\right][t] in Jahren = 222

Exponent = [t]\left[t\right][t] in Jahren = 5

Exponent= [t]\left[t\right][t] in Jahren = 10

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Gesucht ist der Wachstumsfaktor b

Die Formel für die Bakterien nach einer bestimmten Zeit t ist also gegeben durch:

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1. Volumen

2. Volumen

2⋅10−18 m3⋅1,072t=1000000000 m32\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1{,}072^t=1000000000\,m^32⋅10−18m3⋅1,072t=1000000000m3

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Gesucht ist der Abnahmefaktor b

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Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = $1$

Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = $2$

Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = 5

Exponent= $\left[t\right]$ in Jahren = 10

$2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1{,}072^t=1000000000\,m^3$