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Aufgaben zum exponentiellen Wachstum

  1. 1

    Bei einem radioaktiven Stoff zerfällt jedes Jahr 10% der noch vorhandenen Masse. Berechne, wie viel nach 10 Jahren noch vorhanden ist.

  2. 2

    Derzeit gibt es kein politisches System auf der Erde, das nicht auf Wirtschaftswachstum setzt. 4¬†%4\ \% Wachstum gelten als w√ľnschenswert und ma√üvoll: also jedes Jahr 4¬†%4\ \% mehr im Vergleich zum Vorjahr. Um wie viel Prozent w√§re also bei diesem Wachstum die Wirtschaft nach‚Ķ

    1. … 2 Jahren gewachsen?

    2. … 10 Jahren gewachsen?

    3. … 50 Jahren gewachsen?

  3. 3

    Hans er√∂ffnet am 1. Januar ein Konto und zahlt darauf 500¬†‚ā¨500\ ‚ā¨ ein.

    Er erhält jährlich 2,5 %2{,}5\ \% Zinsen, die er am Ende des Jahres jeweils auf das Konto gutschreiben lässt

    1. Wie lautet der Kontostand nach 1, 2, 5 bzw. 10 Jahren?

    2. Wie lange m√ľsste Hans warten, damit sich sein Anfangskapital von 500¬†‚ā¨500\ ‚ā¨ verdoppelt hat?

  4. 4

    Bakterien vermehren sich durch Teilung, wobei sich eine Bakterienzelle durchschnittlich alle 10 Minuten teilt. Zum Zeitpunkt t=0t=0 sei genau eine Bakterienzelle vorhanden.

    1. Wie viele Bakterien sind dann nach 1 Stunde, 2 Stunden, 6 Stunden, 12 Stunden bzw. 24 Stunden vorhanden?

    2. Finde eine Formel f√ľr die Anzahl N=N(t)N= N(t) der Bakterien nach der Zeit tt.

    3. Eine Bakterienzelle hat ein Volumen von ca. 2‚čÖ10‚ąí18‚ÄÖ‚Ääm32 \cdot 10^{-18}\;\mathrm m^3. Wie lange dauert es, bis die Bakterienkultur ein Volumen von 1¬†m31\ m^3 bzw. 1¬†km31\ km^3 einnimmt?¬† Beurteile dein Ergebnis kritisch.

  5. 5

    Ein Taucher interessiert sich wegen Unterwasseraufnahmen daf√ľr, welche Helligkeit in verschiedenen Tiefen herrscht.

    Messungen in einem bestimmten (recht tr√ľben) See ergeben, dass die Helligkeit pro Meter Wassertiefe um ca. 17% abnimmt.

    F√ľr diese Aufgabe musst du dich mit exponentiellem Wachstum auskennen

    allg. Formel¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬† H0‚čÖbx=HH_0\cdot b^x=H

    Abnahmefaktor       b=0,83b=0{,}83

    Anfangswert   H0=1H_0=1         (=100%)\left(=100\%\right)

    Exponent= [x]\left[x\right] in Metern

    [H]\left[H\right] in Prozent

    1. Wie groß ist die Helligkeit in 1m, 2m, 5m bzw. 10m Tiefe, verglichen mit der Helligkeit an der Wasseroberfläche?

    2. Beschreiben sie die Helligkeit H als Funktion der Wassertiefe x als Bruchteil der Helligkeit H0{\mathrm H}_0 an der Wasseroberfläche.

    3. In welcher Tiefe betr√§gt die Helligkeit weniger als 0,01‚čÖH00{,}01\cdot{\mathrm H}_0 ?

  6. 6

    Beim Reaktorungl√ľck von Tschernobyl wurde eine Menge von etwa 400¬†g400\ g radioaktiven Jod 131 freigesetzt.

    Dieses Jod 131 hat eine sogenannte Halbwertszeit von 8,0 Tagen, d.h. in jeweils 8,0 Tagen halbiert sich die Menge des noch vorhandenen radioaktiven Materials Jod 131.

    Allg. Formel: M(0)‚čÖbt=M(t)M\left(0\right)\cdot b^t=M\left(t\right)

    Anfangswert a = 400g400g =M(0)=M\left(0\right)

    Zeit [t]\left[t\right] in Tagen

    M(t)‚ÄÖ‚Ääin‚ÄÖ‚ÄägM\left(t\right)\;in\;g

    M(8)=200gM\left(8\right)=200g

    1. Wie kann man die Menge M=M(t)\mathrm M=\mathrm M\left(\mathrm t\right) des radioaktiven Jods 131 als Funktion der Zeit tt angeben?

    2. Welcher Prozentsatz der urspr√ľnglich vorhandenen Menge M0=400g{\mathrm M}_0=400\mathrm g war nach einem Tag bzw. nach 30 Tagen noch vorhanden?

    3. Wie lange musste man etwa warten, bis von den 400g Jod 131 nur noch 1 Milligramm vorhanden war?

  7. 7

    Bierschaumzerfall

    Bei einer schlecht eingeschenkten Ma√ü Bier betr√§gt die Schaumh√∂he anfangs 10¬†cm10\ cm. Um das Bier einigerma√üen trinken zu k√∂nnen, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumh√∂he auf die H√§lfte zur√ľckgegangen.

    1. Stelle die Zerfallsgleichung f√ľr den Bierschaumzerfall auf.

    2. Berechne, wann die Schaumh√∂he auf 1¬†cm1\ cm zur√ľckgegangen ist.

    3. Bei einem anderen Gast beträgt die Schaumhöhe nach drei Minuten noch 3 cm3\ cm. Wie war die Schaumhöhe nach dem Einschenken?

    4. Mache plausibel, wann der Zerfall am stärksten ist.


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