Aufgaben zur Produktregel

Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Produktregel.

Hinweis: Bei der Eingabe in den Lösungsfeldern musst du Potenzen mit '^' schreiben (zum Beispiel x^2 und nicht x²), damit die Lösung als richtig erkannt wird.

$f\left(x\right)=x^2\cdot x$

$f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+x+7\right)$

2

Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f(x)&=&x^2\cdot\cos(x) \end{array}$
Wende die Produktregel an.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=& 2x\cdot\cos(x)+x^2\cdot(-\sin(x)) \\&=& 2x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x) \end{array}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
Schreibe den Bruch in ein Produkt um.
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} f&=&\dfrac{\sin{x}}{x} \\\\&=&\sin x\cdot\dfrac1x \\\\&=&\sin x\cdot x^{-1} \end{array}$
Wende die Produktregel an.
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot x^{-1}+\sin x\cdot(-1)\cdot x^{-2} \\\\&=&\dfrac{\cos x}x-\dfrac{\sin x}{x^2} \\\\&=&\dfrac1x\cdot \left(\cos x-\dfrac{\sin x}{x}\right)\\\\&=&\dfrac{x\cdot\cos x-\sin x}{x^2} \end{array}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)$
Wende die Produktregel an.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x) \\&=&\cos^2x-\sin^2x \end{array}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

3

Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen

$f(x)= x \cdot \cos(x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)'=\color{darkblue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{darkgreen}{v'(x)}\end{aligned}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &= \color{blue}{x} \cdot \color{green}{\cos(x)} \\ f'(x) &= \color{darkblue}{1} \cdot \color{green}{\cos(x)} + \color{blue}{x} \cdot \color{darkgreen}{(-\sin(x))} \\ &= \cos(x)-x\cdot\sin(x)\end{aligned}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)'=\color{blue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v'(x)}\end{aligned}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &= \color{blue}{4x} \cdot \color{green}{(x^3+2)} \\f'(x) &= \color{blue}{4} \cdot \color{green}{(x^3+2)}+\color{blue}{4x} \cdot \color{green}{3x^2} \\&=4x^3+8+12x^3 \\&=16x^3+8\end{aligned}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)' =\color{blue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v'(x)}\end{aligned}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &= \color{blue}{\left(\frac12x^2+2x\right)} \cdot \color{green}{(x-1)} \\f'(x) &= \color{blue}{(x+2)} \cdot \color{green}{(x-1)}+ \color{blue}{\left(\frac12x^2+2x\right)} \cdot \color{green}{1} \\&=x^2-x+2x-2+\frac12x^2+2x \\&=\frac32x^2+3x-2\end{aligned}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot x$
	↓	Wende die Produktregel an
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x\cdot x+x^2\cdot1$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$\displaystyle 3x^2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(x-1\right)\cdot\left(x^2+x+7\right)$
	↓	Wende die Produktregel an
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 1\cdot\left(x^2+x+7\right)+\left(x-1\right)\cdot\left(2x+1\right)$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$\displaystyle x^2+x+7+2x^2+x-2x-1$
	$=$	$\displaystyle 3x^2+6$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?