Aufgaben zu Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Bilde die Ableitung nach x, beachte hierzu die Ableitungsregeln vom Sinus

Leite nach x ab, beachte hierbei die Ableitungsregel des Sinus und die Kettenregel, $u(v(x))=u^{\mathrm{\prime }}(v(x))\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)u(v(x))=u\text{'}(v(x))\backslash cdot\; v\text{'}(x)$ mit $u(x)=\sin (x)u(x)=\backslash sin(x)$ und $v(x)=2\cdot xv(x)=2\backslash cdot\; x$

Leite die Klammer ab und wende die Kettenregel an: $u(v(x))=u^{\mathrm{\prime }}(v(x))\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)u(v(x))=u\text{'}(v(x))\backslash cdot\; v\text{'}(x)$ mit $u(x)=x^{2}u(x)=x^2$ und $v(x)=\cos (x)v(x)=\backslash cos(x)$

Leite $\cos (2\cdot x)\backslash cos(2\backslash cdot\; x)$ mit Hilfe der Kettenregel ab, wobei $u(x)=\cos (x)u(x)=\backslash cos(x)$ und $v(x)=2\cdot xv(x)=2\backslash cdot\; x$.

Leite den Kosinus mit Hilfe der Kettenregel $u(v(x))=u^{\mathrm{\prime }}(v(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)u(v(x))=u\text{'}(v(x)\backslash cdot\; v\text{'}(x)$ ab, wobei $u(x)=\cos (x)u(x)=\backslash cos(x)$ und $v(x)=2\cdot x^{2}v(x)=2\backslash cdot\; x^2$.

Leite $2\cdot x^{2}2\backslash cdot\; x^2$ ab.

Gegeben: $t(a)=3\cdot a^2+4\cdot \sin (3\cdot a^2)t(a)=3\backslash cdot\; a^2+4\backslash cdot\; \backslash sin(3\backslash cdot\; a^2)$

Gesucht: $t^{\mathrm{\prime }}(a)t\text{'}(a)$

Der vordere Term stellt ein Polynom dar und die Ableitung ist $(3\cdot a^2{)}^{\mathrm{\prime }}=6\cdot a(3\; \backslash cdot\; a^2)\text{'}=6\; \backslash cdot\; a$. Leite den zweiten Term mit der Kettenregel ab.

$(4\cdot \sin (3\cdot a^2){)}^{\mathrm{\prime }}=4\cdot \cos (3\cdot a^2)\cdot 6\cdot a(4\; \backslash cdot\; \backslash sin(3\; \backslash cdot\; a^2))\text{'}=4\; \backslash cdot\; \backslash cos(3\; \backslash cdot\; a^2)\; \backslash cdot\; 6\; \backslash cdot\; a$

Führe die beiden Ergebnisse zusammen und erhalte die Ableitung von $t(a)t(a)$.

$t^{\mathrm{\prime }}(a)=6\cdot a+24\cdot a\cdot \cos (3\cdot a^2)t\text{'}(a)=6\; \backslash cdot\; a\; +\; 24\; \backslash cdot\; a\; \backslash cdot\; \backslash cos(3\; \backslash cdot\; a^2)$

Da $j(b)j(b)$ das Produkt von $b^{2}b^2$ und $\tan (b)\backslash tan(b)$ ist, verwende die Produktregel, hier: $j(b)=u(b)\cdot v(b)j(b)=u(b)\backslash cdot\; v(b)$ mit $u(b)=b^{2}u(b)=b^2$ und $v(b)=\tan (b)v(b)=\backslash tan(b)$.

Es gilt $(\tan (b){)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(b)}}(\backslash tan(b))\text{'}=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash cos^2(b)\}$.

Gegeben: $k(m)={\displaystyle \frac{1}{\sin (m)}}k(m)=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sin(m)\}$

Gesucht: $k^{\mathrm{\prime }}(m)k\text{'}(m)$

Da die Funktion einen Quotient darstellt, nämlich $k(m)={\displaystyle \frac{u(m)}{v(m)}}k(m)=\backslash dfrac\{u(m)\}\{v(m)\}$ mit $u(m)=1u(m)=1$ und $v(m)=\sin (m)v(m)=\backslash sin(m)$, ist die Quotientenregel anwendbar.

Gegeben: $n(x)=\sin (\cos (x))n(x)=\backslash sin(\backslash cos(x))$

Gesucht: $n^{\mathrm{\prime }}(x)n\text{'}(x)$

Die Funktion ist verkettet, es gilt nämlich $n(x)=u(v(x))n(x)=u(v(x))$ für $u(y)=\sin (y)u(y)=\backslash sin(y)$ und $v(x)=\cos (x)\mathrm{.}v(x)=\backslash cos(x).$ Wende daher die Kettenregel an.

Leite $u(y)u(y)$ und $v(x)v(x)$ ab.

$u^{\mathrm{\prime }}(y)=\cos (y)u\text{'}(y)=\backslash cos(y)$ und $v^{\mathrm{\prime }}(x)=-\sin (x)v\text{'}(x)=-\backslash sin(x)$

Setze dies in $n^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(v(x))\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)n\text{'}(x)=u\text{'}(v(x))\; \backslash cdot\; v\text{'}(x)$ ein.

Nach oben ist $v(x)=\cos (x)v(x)=\backslash cos(x)$, setze dies ein.