Bestimme die Ableitung von %%f%% :

%%f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt x\right)%%

Ableitung mit der Kettenregel

%%f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt x\right)%%

Finde die einzelnen Funktionen

%%g\left(x\right)=\ln\left(x\right)\\h\left(x\right)=\sqrt x\\ \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)%%

Finde die einzelnen Ableitungen

%%g'\left(x\right)=\frac{1}{x}\\ h'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt x}%%

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein

%%\begin{array}{rcl} f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\ &=&\frac{1}{\sqrt x}\cdot\frac{1}{2\sqrt x}\\ &=&\frac{1}{2x}\end{array}%%

%%f\left(x\right)=e^{x^2+2\sqrt x}%%

Ableitung mit der Kettenregel

%%f\left(x\right)=e^{x^2+2\sqrt x}%%

Zerlege %%f%%, sodass die Kettenregel angewandt werden kann

%%g\left(x\right)=e^x\\ h\left(x\right)=x^2+2\sqrt x%%

Leite die einzelnen Funktionen ab

%%g'\left(x\right)=e^x\\ h'\left(x\right)=2x+\frac{1}{\sqrt x}%%

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein

%%\begin{array}{rcl} f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\ &=&e^{x^2+2\sqrt x}\cdot\left(2x+\frac{1}{\sqrt x}\right)\end{array}%%

%%f(x)=e^{\sin(x^2)}%%

Ableitung mit der Kettenregel

%%f(x)=e^{\sin(x^2)}%%

Zerlege %%f%% so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.

%%g(x)=e^x\\ h(x)=\sin(x^2)\\ \Rightarrow f(x)=g(h(x))%%

Um die Ableitung von %%f%% anzugeben, muss man die Ableitungen von %%g%% und %%h%% bestimmen.

%%g%% kann direkt abgeleitet werden, um %%h%% abzuleiten, muss die Kettenregel erneut verwendet werden. Zerlege dazu %%h%%.

%%g'(x)=e^x%%

%%u(x)=\sin(x)\\ v(x)=x^2\\ \Rightarrow h(x)=u(v(x))%%

Leite %%u%% und %%v%% ab.

%%u'(x)=\cos(x)\\ v'(x)=2x%%

Nun kannst du mit der Kettenregel alle Ableitungen bestimmen.

%%\begin{array}{rcl} f'(x)&=&g'(h(x))\cdot h'(x)\\ &=& e^{h(x)} \cdot h'(x)\\ &=& e^{\sin(x^2)}\cdot u'(v(x)) \cdot v'(x)\\ &=& e^{\sin(x^2)}\cdot \cos(x^2) \cdot 2x \end{array}%%

%%f(t) = e^{t^3+\sin(t)}%%

Ableitung mit der Kettenregel

Infos zur Anwendung der Regel findest du im Artikel Kettenregel. Im Folgenden kannst du mit %%f(t)%% genauso umgehen wie mit %%f(x)%%, nur dass als Variable %%t%% und nicht %%x%% verwendet wird und nach dieser abgeleitet wird.

%%f(t) = e^{t^3+\sin(t)}%%

Zerlege %%f(t)%%, sodass die Kettenregel angewandt werden kann.

%%g(t) = e^t%%

%%h(t) = t^3+\sin(t)%%

Leite die einzelnen Funktionen ab.

%%g'(t) = e^t%%

%%h'(t) = 3t^2 + \cos(t)%%

Kettenregel aufstellen

%%f'(t) = g'(h(t)) \cdot h'(t)%%

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein.

%%f'(t) = e^{t^3+\sin(t)} \cdot (3t^2+\cos(t))%%