Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.

$\mathrm e^{2\cdot\mathrm x}=1$

$2\cdot\mathrm e^\mathrm x=\frac2e$

$\sqrt{\mathrm e^\mathrm x}=\mathrm e^6\cdot\mathrm e^\mathrm x$

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$\displaystyle e^{2x}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle ⋅\log()$
	↓	Logarithmiere
$\displaystyle \log_e\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle 2x$
	↓	Der Logarithmus von $1$ zu einer Basis $e$ ist immer $0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle 2\cdot e^x$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{e}$	$\displaystyle \cdot e$
$\displaystyle 2\cdot e^x\cdot e^1$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle e^x\cdot e^1$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Verwende das passende Potenzgesetz .
$\displaystyle e^{x+1}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot\log\left(\right)$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle \log_e\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle x+1$
	↓	$ e^{x} = 1 e$ Es gilt: Der Logarithmus von $ 1$ zu einer Basis $ n$ ist immer Null. Da: $e^{0} = 1 e$ $\;\;e\in\mathbb{R}$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle \sqrt{\mathrm e^\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \mathrm e^6\cdot\mathrm e^\mathrm x$
	↓	Schreibe die Wurzel als Potenz.
$\displaystyle \mathrm (e^x)^\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle \mathrm e^6\cdot\mathrm e^\mathrm x$
	↓	Wende Potenzgesetze an.
$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$	$=$	$\displaystyle e^{\left(6+x\right)}$	$\displaystyle \ln()$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle \ln\left(e^{\frac{x}{2}}\right)$	$=$	$\displaystyle \ln\left(e^{x+6}\right)$
$\displaystyle \dfrac{x}{2}$	$=$	$\displaystyle x+6$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle -\dfrac{x}{2}$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle \cdot(-2)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -12$