Gib für folgende Funktionen die maximale Definitionsmenge an %%\left(G=ℝ\right)%% .

%%f\left(x\right)=\dfrac{5x+17}{0,64x^2+1,12x+0,49}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac{5x+17}{0,64x^2+1,12x+0,49}%%

Nenner gleich 0 setzen.

%%0,64x^2+1,12x+0,49=0%%

%%D=(1,12)^2-4\cdot0,64\cdot0,49%%

Diskriminante berechnen.

 

   %%=1,2544-1,2544%%

 

   %%=0%% %%\;\;\Rightarrow\;\;1\;\mathrm{Lösung}%%

%%x=\dfrac{-1,12}{2\cdot0,64}=-0,875%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;D=ℝ\backslash\{-0,875\}%%

 

%%f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{x^2+4x+4}}{\sqrt{2x^2+20x+60}}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion %%f%% ist genau für diejenigen %%x%% definiert, für die der Radikand %%g(x)=x^2+4x+4%% im Zähler größer gleich %%0%% ist UND der Radikand %%h(x)=2x^2+20x+60%% im Nenner größer als %%0%% ist.

Nullstellen von %%g(x)=x^2+4x+4%%

%%g(x)=(x+2)(x+2)%%

%%\Rightarrow%% doppelte Nullstelle bei %%x=-2%%

Faktorisierung mit dem Verfahren von Vieta

Da der Graph der Funktion %%g(x)=x^2+4x+4%% eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel auf der x-Achse liegt, ist sie für alle %%x\in\mathbb{R}%% größer gleich 0.

Nullstellen von %%h(x)=2x^2+20x+60%%

%%D=20^2-4\cdot2\cdot60=-80<0%%

%%\Rightarrow%% keine Nullstellen

Hier zeigt die Berechnung der Diskriminanten, dass die Funktion %%h%% keine reellen Nullstellen besitzt.

Da der Graph der Funktion %%h(x)=2x^2+20x+60%% eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel oberhalb der x-Achse liegt, ist sie für alle %%x\in\mathbb{R}%% positiv.

Interpretation

Da sowohl für %%g%% als auch %%h%% die Bedingung aus der Vorüberlegung für alle %%x\in\mathbb{R}%% erfüllt ist, gilt:

%%\mathbb{D}_f=ℝ%%

%%f\left(x\right)=\dfrac{\left(4x-9\right)^\frac12}{18-8x}%%

Definitionsmenge bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Der Exponent %%\frac12%% steht für die Quadratwurzel. Demnach ist die Funktion %%f%% genau für diejenigen %%x%% definiert, für die %%g(x)=4x-9%% größer gleich %%0%% ist UND die Funktion %%h(x)=18-8x%% im Nenner ungleich %%0%% ist.

Nullstellen von %%g(x)=4x-9%%

%%4x-9=0%%

%%4x=9%% $$x=\frac94$$

Die Nullstelle der linearen Funktion %%g%% lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.

Da der Graph der Funktion %%g(x)=4x-9%% eine Gerade mit positiver Steigung ist, nimmt %%g%% für alle %%x\geq\frac94%% Werte größer gleich %%0%% an.

Nullstellen von %%h(x)=18-8x%%

%%18-8x=0%%

%%18=8x%%

%%x=\frac94%%

Die Nullstelle der linearen Funktion %%g%% lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.

Interpretation

Da die Bedingungen an %%g%% und %%h%% aus der Vorüberlegung genau für alle %%x>\frac94%% erfüllt sind, gilt:

%%\mathbb{D}_f= \left]\frac94;\infty\right[%%

%%f\left(x\right)=\sqrt{6x-x^2-9}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion %%f%% ist genau für diejenigen %%x%% definiert, für die %%g(x)=6x−x^2−9%% größer gleich %%0%% ist.

Nullstellen von %%g(x)=-x^2+6x-9%%

%%g(x)=-(x-3)(x-3)%%

%%\Rightarrow%% doppelte Nullstelle bei %%x_1=3%%

Hier lässt sich %%g(x)%% mit dem Verfahren von Vieta faktorisieren.

Da der Graph der Funktion g eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Koeffizient vor höchster x-Potenz) mit Scheitel auf der x-Achse ist, nimmt g nur für %%x=3%% einen nicht-negativen Wert an.

Interpretation

Nach der Vorüberlegung gilt:

%%\mathbb{D}_f=\{{3}\}%%

%%f\left(x\right)=\dfrac1{\frac12x^2-2}%%

Definitionsmenge bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac1{\frac12x^2-2}%%

Nenner darf nicht 0 werden  %%\Rightarrow%%  Nenner gleich 0 setzen.

%%\frac12x^2-2=0%%

%%\left|{+2}\right.%%

      %%\frac12x^2=2%%

%%\left|{\cdot2}\right.%%

           %%x^2=4%%

 

%%x_1=\sqrt4=2%%

%%x_2=-\sqrt4=-2%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathbb{D}_f=ℝ\backslash\left\{2;-2\right\}%%

 

%%f\left(x\right)=\dfrac{x^3+x^2+x+1}{\frac49x^2-\frac14}%%

Definitionsmenge bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac{x^3+x^2+x+1}{\frac49x^2-\frac14}%%

Der Nenner %%g(x)=\frac{4}9x^2-\frac{1}4%% darf nicht %%0%% werden.

%%g(x)=\frac49x^2-\frac14=0%%

Um diese %%x%% zu ermitteln, setzt man %%g(x)=0%% an.

%%g(x)=\left(\frac23x-\frac12\right)\left(\frac23x+\frac12\right)=0%%

Hier lässt die die Mitternachtsformel durch Anwendung der 3. Binomischen Formel umgehen.

1.Nullstelle:

%%\frac{2}3x-\frac{1}2=0%%

%%\frac{2}3x=\frac{1}2%%

%%x=\frac{3}4%%

Zunächst betrachtet man den (linearen) Term in der ersten Klammer.

2.Nullstelle

%%\frac{2}3x+\frac{1}2=0%%

%%\frac{2}3x=-\frac{1}2%%

%%x=-\frac{3}4%%

Nun betrachtet man den (linearen) Term in der zweiten Klammer.

Damit gilt: %%\mathbb{D_f}=\mathbb{R}\backslash\{-\frac34;\frac34\}%%

 

%%f\left(x\right)=\dfrac{\sin(x)}{x^2-4x+4}%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac{\sin\;x}{x^2-4x+4}%%

Nenner darf nicht 0 werden.

%%x^2-4x+4=0%%

Um diejenigen %%x%% zu ermitteln, die dies verletzen, setzt man den Nenner gleich %%0%%.

%%\left(x-2\right)^2=0%%

Hier lässt sich die 2. Binomische Formel anwenden.  

%%x-2=0%%

%%\left|+2\right.%%

%%x=2%%

Also gilt: %%\mathbb {D}_f=\mathbb{R}\backslash\{2\}%%

 

%%f(x)=\dfrac1{-x^2+6x-9}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\dfrac1{-x^2+6x-9}%%

Der Nenner %%g(x)=-x^2+6x-9%% darf nicht %%0%% werden.

%%g(x)=-x^2+6x-9=0%%

Hier setzt man %%g(x)=0%% an.

%%g(x)=-(x-3)(x-3)%%

%%\Rightarrow%% doppelte Nullstelle bei %%x=3%%

Die Funktion %%g(x)=-x^2+6x-9%% lässt sich mit dem Verfahren von Vieta durch "Hinsehen" faktorisieren. So kann man die Anwendung der Mitternachtsformel umgehen.

Also gilt: %%\mathbb{D}=ℝ\backslash\left\{3\right\}%%

 

%%f\left(x\right)=\dfrac{2\mathrm{ax}+4\mathrm{bx}^2+8\mathrm{cx}^3}{80-5x^2}%%

Definitionsmenge bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac{2\mathrm{ax}+4\mathrm{bx}^2+8\mathrm{cx}^3}{80-5x^2}%%

 Nenner gleich 0 setzen

%%80-5x^2=0%%

%%\left|{+5x^2}\right.%%

            %%80=5x^2%%

%%\left|:5\right.%%

           %%x^2=16%%

 

             %%x_1=\sqrt{16}=4%%

             %%x_2=-\sqrt{16}=-4%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f=ℝ\backslash\left\{-4;4\right\}%%

 

%%f\left(x\right)=\left(2-x\right)\cdot\dfrac{x+x^2+x^3+x^4}{x^3-\frac14x}%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\left(2-x\right)\cdot\dfrac{x+x^2+x^3+x^4}{x^3-\frac14x}%%

Nenner gleich Null setzen.

       %%x^3-\frac14x=0%%

%%x\left(x^2-\frac14\right)=0%%

  1. NST kann man ablesen  %%x_1=0%%   %%\ \Rightarrow%% Betrachtung der Klammer

%%x^2-\frac14=0%%

%%\left|+\frac14\right.%%

                   %%x^2=\frac14%%

  %%\left|\sqrt{}\right.%%

                   %%x_2=\frac12%%

                   %%x_3=-\frac12%%

%%\Rightarrow%% %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}2\text{;0;}\frac12\textstyle\}%%

 

%%f\left(x\right)=\dfrac x{\sin(x)}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac x{\sin(x)}%%

Nenner gleich 0 setzen.

%%\sin(x)=0%%

Überlegung: Die gewöhnliche Sinus -Kurve schneidet die x-Achse genau bei allen Vielfachen von %%\pi%%.

%%\Rightarrow%% %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

 

%%f\left(x\right)=123\cdot\dfrac{4+5x+6x^2}{\cos\left(x+4\right)}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=123\cdot\dfrac{4+5x+6x^2}{\cos\left(x+4\right)}%%

Der Nenner (%%\cos(x+4)%%) darf nicht %%0%% werden.

%%\cos(x+4)=0%%

%%x+4\in\{\frac\pi2+k\cdot\mathrm\pi\vert\mathrm k\in\mathbb{Z}\}%%

%%x\in\{-4+\frac\pi2+k\cdot\mathrm\pi\vert\mathrm k\in\mathbb{Z}\}%%

Nun überlegt man sich, für welche %%x%% der Nenner %%0%% wird.

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{-4+\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

 

%%f\left(x\right)=\dfrac{6789}{\sqrt3\;\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$$f(x)=\frac{6789}{\sqrt3\cos(x)-\sin(x)}$$

Der Nenner (%%\sqrt3\cos(x)-\sin(x)%%) darf nicht %%0%% werden.

%%\sqrt3\cos(x)-\sin(x)=0%%

%%\sqrt3\cos(x)=\sin(x)%%

Nun überlegt man sich, für welche %%x%% der Nenner %%0%% wird.

%%\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x)=\sqrt3%%

$$x\in\{\frac\pi3+2k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$$

Da es kein %%x%% gibt, für das %%cos(x)%% und %%sin(x)%% beide %%0%% werden, dürfen wir durch %%cos(x)%% teilen, ohne eine Lösung zu verlieren.

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{\frac\pi3+2k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

%%f(x)=\dfrac{5x^2-a}{36x^2-16x}%%

Definitionsmenge bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\dfrac{5x^2-a}{36x^2-16x}%%

Die Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners .

%%36x^2-16x=0%%

Nun überlegt man sich, für welche %%x%% der Nenner %%0%% wird.

  %%4x\;(9x-4)=0;%%

Hier lässt sich %%4x%% ausklammern.

Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

1.Möglichkeit:

%%x=0%%

2.Möglichkeit:

%%9x-4=0%%

%%\left|+4\right.%%

%%9x=4%%

%%x=\frac49%%

%%\left|:9\right.%%

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0;\;\;\frac49\right\}%%

%%f(x)=\dfrac1{x-6}-\dfrac1{6x+1}%%

Definitionsmenge bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\dfrac1{x-6}-\dfrac1{6x+1}%%

Definitionslücken sind die Nullstellen der Nenner .

%%x-6=0%%

%%\left|+6\right.%%

%%x_1=6%%

%%6x+1=0%%

%%\left|-1\right.%%

%%6x=-1;%%

%%\left|:6\right.%%

%%x_2=-\frac16%%

Also gitl: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\left\{-\frac16;\;6\right\}%%