Die Cramersche Regel ist eine Methode, um mittels Determinanten ein lineares Gleichungssystem zu lösen.

 

 

Vorgehen

Lineares Gleichungssystem

$$\;\;\begin{align}ax _1+bx _2+cx _3= b_1\\ dx _1+ex _2+fx _3= b _2\\ gx _1+hx _2+ix _3= b _3 \end{align}$$

Man wandelt das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizienten-Matrix um.

$$\;\;\Rightarrow\;\;( A\left| b)\right.=\left(\begin{array}{ccc} a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array} \left| \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right.\right)$$

Berechnung von %%x_1,\;x_2,\;x_3%% :

$$\begin{array}{l}A=\begin{pmatrix}a& b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}\Rightarrow\text{det}\;A=\text{det }\begin{pmatrix}a& b& c\\ d & e & f\\g & h & i \end{pmatrix}\end{array}$$

Man berechnet die Determinante.

$$\text{det}(A_{x_1}) =\text{det }\begin{pmatrix}b_1 & b & c\\ b _2 & e& f\\ b _3& h & i\end{pmatrix}$$

Man ersetzt die Spalte der %%x _1%% -Werte durch die Ergebnis-Spalte und berechnet davon die Determinante.

$$\text{det}(A_{x_2}) =\text{det }\begin{pmatrix} a & b_1 & c\\ d & b _2 & f\\ g & b _3 & i\end{pmatrix}$$

Man ersetzt die Spalte der %%x _2%% -Werte durch die Ergebnis-Spalte und berechnet davon die Determinante.

$$\text{det}(A_{x_3}) =\text{det }\begin{pmatrix} a & b & b_1 \\ d & e &b _2 \\ g & h &b _3\end{pmatrix}$$

Man ersetzt die Spalte der %%x _3%% -Werte durch die Ergebnis-Spalte und berechnet davon die Determinante.

 

Die Lösungen  %%x_1,\;x_2,\;x_3%% des gegebenen linearen Gleichungssystems erhätl man dann wie folgt:

$$x _1=\frac{\text{det}(A _{{x}_1})}{\det(A)}$$

$$x _2=\frac{\text{det}(A _{{x}_2})}{\det(A)}$$

$$x _3=\frac{\text{det}(A _{{x}_3})}{\det(A)}$$

  

 

Beispielaufgabe
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