Die %%h%%-Methode ist eine andere Interpretation des Differentialquotienten. Anstatt %%x%% gegen %%x_0%% laufen zu lassen, lässt man diesmal den Abstand %%h = x - x_0%% zu %%x_0%% gegen 0 laufen:

$$f'\left(x\right)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Damit lässt sich die Ableitung an der Stelle %%x_0%% berechnen.

Beispiel

Gegeben ist %%f(x)=x^2%%.

$$f'\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$$

Zunächst setzt man %%f%% in die Formel ein ...

$$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(x+h\right)^2-x^2}h$$

... und löst die entstehende binomische Formel auf.

$$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{x^2+2\mathrm{xh}+h^2-x^2}h$$

$$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{2\mathrm{xh}+h^2}h$$

Dann klammert man %%h%% im Zähler aus ...

$$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{h\left(2x+h\right)}h$$

... und kürzt %%h%% anschließend.

$$=\lim_{h\to 0}(2x+\overbrace{h}^{\to 0})= 2x$$

Lässt man jetzt %%h%% gegen 0 laufen, so ergibt sich der Grenzwert.


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