Aufgaben

Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Produktregel.

Hinweis: Bei der Eingabe in den Lösungsfeldern musst du Potenzen mit '^' schreiben (zum Beispiel x^2 und nicht x²), damit die Lösung als richtig erkannt wird.

Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen
f(x)=x2cos(x)f\left(x\right)=x^2\cdot\cos\left(x\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

f(x)=x2cos(x)\begin{array}{rcl} f(x)&=&x^2\cdot\cos(x) \end{array}
Wende die Produktregel an.
f(x)=2xcos(x)+x2(sin(x))=2xcos(x)x2sin(x)\begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=& 2x\cdot\cos(x)+x^2\cdot(-\sin(x)) \\&=& 2x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x) \end{array}
f(x)=sin(x)x\displaystyle f\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

Schreibe den Bruch in ein Produkt um.
f=sinxx=sinx1x=sinxx1\begin{array}{rcl} f&=&\dfrac{\sin{x}}{x} \\\\&=&\sin x\cdot\dfrac1x \\\\&=&\sin x\cdot x^{-1} \end{array}
Wende die Produktregel an.
f(x)=cosxx1+sinx(1)x2=cosxxsinxx2=1x(cosxsinxx)=xcosxsinxx2\begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot x^{-1}+\sin x\cdot(-1)\cdot x^{-2} \\\\&=&\dfrac{\cos x}x-\dfrac{\sin x}{x^2} \\\\&=&\dfrac1x\cdot \left(\cos x-\dfrac{\sin x}{x}\right)\\\\&=&\dfrac{x\cdot\cos x-\sin x}{x^2} \end{array}
f(x)=sin(x)cos(x)f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

f(x)=sin(x)cos(x)f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)
Wende die Produktregel an.
f(x)=cosxcosx+sinx(sinx)=cos2xsin2x\begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x) \\&=&\cos^2x-\sin^2x \end{array}
Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen
f(x)=xcos(x)f(x)= x \cdot \cos(x)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

%%\begin{align}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)'=\color{darkblue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{darkgreen}{v'(x)}\end{align}%%
%%\begin{align}f(x) &= \color{blue}{x} \cdot \color{green}{\cos(x)} \\ f'(x) &= \color{darkblue}{1} \cdot \color{green}{\cos(x)} + \color{blue}{x} \cdot \color{darkgreen}{(-\sin(x))} \\ &= \cos(x)-x\cdot\sin(x)\end{align}%%
f(x)=4x(x3+2)\displaystyle f(x)=4x\cdot(x^3+2)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

%%\begin{align}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)'=\color{blue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v'(x)}\end{align}%%
%%\begin{align}f(x) &= \color{blue}{4x} \cdot \color{green}{(x^3+2)} \\f'(x) &= \color{blue}{4} \cdot \color{green}{(x^3+2)}+\color{blue}{4x} \cdot \color{green}{3x^2} \\&=4x^3+8+12x^3 \\&=16x^3+8\end{align}%%
f(x)=(12x2+2x)(x1)\displaystyle f(x)=\left(\frac12x^2+2x\right)\cdot(x-1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

%%\begin{align}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)' =\color{blue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v'(x)}\end{align}%%
%%\begin{align}f(x) &= \color{blue}{\left(\frac12x^2+2x\right)} \cdot \color{green}{(x-1)} \\f'(x) &= \color{blue}{(x+2)} \cdot \color{green}{(x-1)}+ \color{blue}{\left(\frac12x^2+2x\right)} \cdot \color{green}{1} \\&=x^2-x+2x-2+\frac12x^2+2x \\&=\frac32x^2+3x-2\end{align}%%
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