Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattformen, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist.

Kletteranlage

Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die %%x_1x_2%%-Ebene den horizontalen Untergrund. Die Plattformen und die Kletterwand werden als ebene Vielecke betrachtet. Eine Längeneinheit entspricht 1 m in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle aus dem Untergrund austreten, werden durch %%P_{1}(0|0|0)%% und %%P_2(5|10|0)%% dargestellt. Außerdem sind die Eckpunkte %%A(3|0|2)%%, %%B(0|3|2)%%, %%E(6|0|0)%%, %%F(0|6|0)%%, %%R(5|7|3)%% und %%T(2|10|3)%% gegeben. Die Materialstärke aller Bauteile der Anlage soll vernachlässigt werden.

a)

(3 BE)

In den Mittelpunkten der oberen und unteren Kante der Kletterwand sind die Enden eines Seils befestigt, das 20% länger ist als der Abstand der genannten Mittelpunkte. Berechnen Sie die Länge des Seils.

b)

(4 BE)

Die Punkte %%A%%, %%B%%, %%E%% und %%F%% liegen in der Ebene %%L%%. Ermitteln Sie eine Gleichung von %%L%% in Normalenform.

c)

(2 BE)

Zeigen Sie, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat.

d)

(3 BE)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt.

Über ein Kletternetz kann man von einer Plattform zur anderen gelangen. Die vier Eckpunkte des Netzes sind an den beiden Pfählen befestigt. Einer der beiden unteren Eckpunkte befindet sich an Pfahl 1 auf der Höhe der zugehörigen Plattform, der andere untere Eckpunkt an Pfahl 2 oberhalb der Plattform 2. An jedem Pfahl beträgt der Abstand der beiden dort befestigten Eckpunkte des Netzes %%1,80\,\text{m}%%. Das Netz ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es die Form eines ebenen Vierecks hat.

e)

(3 BE)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Netzes und erläutern Sie Ihren Ansatz.

f)

(5 BE)

Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch die Strecke %%[RT]%% dargestellt wird. Betrachtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist. Im Model hat dieser Eckpunkt die Koordinaten %%(5|10|h)%% mit einer reellen Zahl %%h>3%%. Die untere Netzkante liegt auf der Geraden %%g:\vec X=\pmatrix{0\\0\\2}+\lambda\cdot \pmatrix{5\\10\\h-2}\,,\,\lambda \in \mathbb{R}%%.

Berechnen Sie den Abstand des betrachteten Eckpunkts von der Plattform 2.

Teilaufgabe a)

Um letztlich die Seillänge zu berechnen sind folgende Arbeitsschritte nach und nach zu machen:

  • Mittelpunkt %%M_o%% der oberen Kante %%[AB]%% bestimmen
  • Mittelpunkt %%M_u%% der unteren Kante %%[EF]%% bestimmen
  • Abstand der beiden Mittelpunkte berechnen
  • diesen Abstand um %%20 \%%% erhöhen.

Der Mittelpunkt %%M_o%% der oberen Kante ergibt sich als Mittelwert der Ortsvektoren zu den Eckpunkten %%A%% und %%B%%:

$$ \begin{align} \vec{M}_{o} &= \frac12\cdot\left(\vec{A}+\vec{B}\right) \\ &= \frac12\cdot\begin{pmatrix} 3+0\\0+3 \\2+2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1,5 \\1,5 \\2 \end{pmatrix} \end{align} $$

Alternative zum Mittelwertansatz

Zum gleichen Ergebnis führt der Ansatz, erst vom Ursprung zu Punkt %%A%% zu gehen und dort den halben Differenzvektor, der von %%A%% nach %%B%% zeigt, anzuheften:

$$ \begin{align} \overrightarrow{M_o} &= \vec{A}+\frac12\cdot \overrightarrow{AB}= \\ &=\vec{A}+\frac12\cdot\left(\vec{B}-\vec{A}\right) = \\ &= \frac12\cdot\vec{A}+\frac12\cdot\vec{B} = \\ &= \frac12\cdot\left(\vec{A}+\vec{B}\right) \\ \end{align} $$

Im Eifer des Gefechts wird gerne auch einmal nur der halbe Differenzvektor angeschrieben und vergessen, ihn an den Vektor %%\vec{A}%% anzuheften. Dann steht aber unausgesprochen der Nullvektor davor und der halbe Differenzvektor endet an der falschen Stelle!

Das ist dann eben der Unterschied zwischen dem richtigen %%\frac12\cdot\left(\vec{A}+\vec{B}\right)%% (arithmetischer Mittelwert = gleich gewichtete Summe) und dem falschen %%\frac12\cdot\left(\vec{a}-\vec{b}\right)%% (halbierter Differenzvektor).

Entsprechend nun für die untere Kante %%[EF]%%: $$ \begin{align} \vec{M}_{u} &= \frac12\cdot\left(\vec{E}+\vec{F}\right) =\begin{pmatrix} 3\\3 \\0 \end{pmatrix} \end{align} $$

Die Seillänge %%l%% ergibt sich als %%1,2%%-faches des Betrags des Differenzvektors %%\overrightarrow{M_uM_o}%%:

$$ \begin{align} l&=1,2\cdot\left|\overrightarrow{M_uM_o}\right| \\ & = 1,2\cdot\left|\begin{pmatrix} -1,5\\ -1,5\\ 2\end{pmatrix}\right| \\ &=1,2\cdot\sqrt{1,5^2+1,5^2+2^2} = 3,50 \end{align} $$

Die Seillänge beträgt %%3,50%% m .

Die Abbildung zeigt das nicht-verlängerte Seil

Teilaufgabe b)

Eine fast identische Aufgabenstellung ist schon im A-Teil dieser Abituraufgabe vorgestellt worden, weshalb es hier mit ähnlichen Überlegungen beginnt.

3 der genannten 4 Punkte %%A%%, %%B%%, %%E%% und %%F%% genügen, um die Ebenengleichung %%L%%, in der sich die Kletterwand befindet, aufzustellen. Im Folgenden wird der Punkt %%E%% als Aufpunkt gewählt und von ihm ausgehend werden zwei Richtungsvektoren aufgestellt, indem man die Differenzvektoren bildet.

Auch hier ist wieder die Normalenform der Ebene gefordert und man bildet aus den beiden Richtungsvektoren mit Hilfe des Vektorprodukts gleich einen Normalenvektor.

Es sind also wieder 3 Schritte erforderlich:

  • Zwei Differenzvektoren aufstellen,
  • daraus den Normalenvektor bilden und schließlich
  • den Aufpunkt in die Normalenform einsetzen.

Differenzvektoren

$$ \begin{align} \overrightarrow{EA}=\begin{pmatrix} -3\\0 \\2 \end{pmatrix}\; ,\; \overrightarrow{EF}=\begin {pmatrix} -6\\ 6\\ 0\end{pmatrix} \end{align} $$

Normalenvektor %%\vec{n}_{L}%%

$$ \begin{align} \vec{n}_{L}&=\overrightarrow{EA}\times\overrightarrow{EF} \\ &= \begin{pmatrix}0\cdot 0 &-& 2\cdot 6\\ 2\cdot(-6) &-& (-3)\cdot 0\\ -3\cdot 6 &-& 0\cdot(-6) \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -12\\ -12\\-18 \end{pmatrix}=(-6)\begin{pmatrix} 2\\ 2\\3 \end{pmatrix} \end{align} $$

Der Vektor %%\vec n=\pmatrix{2\\2\\3}%% ist also ein Normalenvektor der Ebene %%E%%.

Hinweis:

Das Ausklammern des Faktors %%-6%% aus dem Vektor des Kreuzproduktes bewirkt die Änderung der Orientierung ("Gegenvektor") und Verkürzung auf ein Sechstel seiner ursprünglichen Länge. Aber es bleibt ein "Normalenvektor" (senkrecht zur Ebene)! Der Vorteil: Kleinere Koordinaten - weniger Minuszeichen!

Aufpunkt E

$$ \begin{align} L:\begin{pmatrix} 2\\2 \\3 \end{pmatrix}\circ\left[\vec{x}-\begin{pmatrix} 6\\ 0\\0 \end{pmatrix}\right] &=0 \\ L:2(x_1-6)+2(x_2+0)+3(x_3+0)&=0\\ L: 2x_1+2x_2+3x_3-12&=0 \end{align} $$

Teilaufgabe c)

Ein Trapez hat zwei parallele Seiten. Das Wörtchen "hat" ist im Sinne von "hat mindestens" zu verstehen.

Hier ist nun nur noch zu zeigen, dass %%\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{EF}%%:

$$ \begin{align} \overrightarrow{AB} &= \begin{pmatrix}-3 \\3 \\0 \end{pmatrix}=\frac12\cdot\begin{pmatrix} -6\\ 6\\ 0 \end{pmatrix}=\frac12\cdot\overrightarrow{EF} \end{align} $$

Darf's auch ein bisschen mehr sein? Nein und doch Ja!

Ein Trapez ist ein Viereck mit 2 parallelen Seiten.

Dieses "mit", "hat" oder Ähnliches ist in der Mathematik immer ein "hat mindestens" oder "mit mindestens" oder "hat wenigstens" oder "hat überhaupt mal".

Eine Familie mit 2 Autos wird auf die Frage, ob sie ein Auto besitzt, korrekt mit "Ja" antworten, auch wenn das nicht die ganze Wahrheit ist!

Will man diese Ungenauigkeit beseitigen, kann man z. B. die Formulierung "genau ein" verwenden.

Eine Übersicht über Vierecke und ihre Zusammenhänge ist im sogenannten Haus der Vierecke zusammengestellt.

Falls jemand im Eifer des Gefechts zeigt, dass die beiden Kanten %%[EA]%% und %%[FB]%% gleich lang sind, so ist das völlig unnötig, da es nicht zur Definition des Trapezes gehört. Aber man würde damit nachweisen, dass es sich um ein gleichschenkliges Trapez handelt. Bleibt nochmal zu fragen: "Hat ein gleichschenkliges Trapez die Form eines Trapez?" Ja, es ist eben auch ein Trapez!

Wie die Familie mit den zwei Autos darf sich auch der Besitzer eines gleichschenkligen Trapezes bei der Frage "Wer hat ein Trapez?" melden!

Teilaufgabe d)

Hier geht es um den Winkel zwischen zwei Ebenen.

Ein Blick zurück auf die Abbildung in Teilaufgabe a) zeigt, dass man den gesuchten Winkel, dort ist er mit %%\varphi%% bezeichnet, auf zwei Weisen ermitteln kann:

  • entweder als Winkel zwischen der Strecke %%[M_uMo]%% und dem Untergrund
  • oder als Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebene %%L%% und dem Normalenvektor des Untergrunds

Letzteres ist in der Regel einfacher, da man die Normalenvektoren schnell findet! Die nachfolgende Abbildung verdeutlicht diesen Zusammenhang noch einmal, wobei der Blick auf die Ebenen in Richtung der Schnittgeraden ist.

Es wird also der gleichgroße Winkel zwischen dem Normalenvektor %%\vec{n}_{L}%% und der Richtung der %%x_3%%-Achse (Normalenvektor der %%x_1%%-%%x_2%%-Ebene) berechnet :

$$ \begin{align} \cos\varphi &=\frac{\begin{pmatrix} 2\\ 2\\3 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0 \\0 \\1 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} 2\\ 2\\3 \end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix} 0\\0 \\1 \end{pmatrix}\right|} \\ &=\frac{2}{\sqrt{2^2+2^2+3^2}\cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{17}} \\ \varphi &= 43^\circ \end{align} $$

Teilaufgabe e)

Wegen der Parallelität der Pfähle 1 und 2 handelt es sich beim Kletternetz um ein Trapez, dessen parallele Seiten auch noch gleichlang sind (1,80 m), also ist es sogar ein Parallelogramm mit Grundseitenlänge 1,80 m. Die Höhe entspricht dem Abstand der beiden Pfähle %%\left|\overrightarrow{P_1P_2}\right|%%. Maßstäblich korrekt ist das Kletternetz in der Abbildung bei Teilaufgabe f) zu sehen, aber wegen der Perspektive im Schrägbild, wird das dort nicht so deutlich wie in der nachfolgenden Abbildung, wo der Blick frontal auf das Kletternetz gerichtet ist:

Der umgangssprachliche Sinn der Worte Höhe und Grundlinie und die tatsächliche Zuordnung der beiden Begriffe im Sachzusammenhang sind also gerade verkehrt!

$$ \begin{align} A &= g\cdot h = \\ &= 1,80\cdot \left|\begin{pmatrix} 5\\10 \\0 \end{pmatrix}\right| \\ &= 1,80\cdot\sqrt{5^2+10^2} \\ &\approx 1,80\cdot 11,18 \approx 20,1 \end{align} $$

Die Fläche des Kletternetzes beträgt rund %%20,1%% m%%^2%% .

Teilaufgabe f)

Dass man für die Lösung der Aufgabe irgendwie Geraden zum Schnitt bringen muss ist klar. Weil man letztlich die Höhe %%h%% ermitteln soll, schneidet man vordergründig einfach den Pfahl 2 mit der unteren Netzkante. Aber es soll noch die Sache mit dem Berühren von Plattform 2 erfüllt werden.

Besser man schneidet also die untere Netzkante mit der Geraden %%RT%%, dann fällt einem wie von selbst auch noch die gesuchte Höhe %%h%% in den Schoß.

Höhe h als Nebenprodukt der Lösung des Gleichungssystems

Beim Schnitt zweier Geraden im 3-Dimensionalen gibt es 3 Gleichungen aber nur die beiden Parameter der Geraden (die üblicherweise mit %%\lambda%% und %%\mu%% bezeichnet werden). Mit 3 Gleichungen können aber 3 Variablen bestimmt werden und die zunächst unbekannte Höhe %%h%% ist genau die dritte Variable, die sich bei einem eindeutig lösbaren Gleichungssystem hier ergibt.

Die untere Netzkante wird durch die Gerade %%g%% modelliert, deren Gleichung im Aufgabentext gegeben ist. Uns bleibt noch, die Gerade %%h%% durch die beiden Punkte %%R%% und %%T%% der Plattform 2 aufzustellen. %%[RT]%% liegt auf der Geraden %%k%% mit: $$ \begin{align} k: \vec{X} &=\begin{pmatrix} 5\\7 \\3 \end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix} -3\\3 \\ 0\end{pmatrix} \end{align} $$

Die Gerade %%g%% schneidet die Strecke %%[RT]%%. Für %%g=k%% ergibt sich das Gleichungssystem:

$$ \begin{array}{lrrcrr} (\text{I}) &&5\lambda &= &5 &- 3\mu \\ (\text{II}) &&10\lambda &= &7& +3\mu \\ (\text{III}) &2 &+(h-2)\lambda &= &3 & \end{array} $$

Aus %%(\text{I})%%+%%(\text{II})%% folgt: %%\lambda=\frac{12}{15}=\frac45%% .

Eingesetzt in %%(\text{III})%% folgt:

$$ \begin{align} 2+ (h-2)\lambda &= 3 \\ 2+ (h-2)\frac45 &= 3 \\ h-2 &= 1\cdot\frac54 \\ h&= \frac54+2 =3,25 \end{align} $$

Der Abstand des unteren Eckpunkts von Plattform 2 beträgt daher %%0,25%%m .

Alternative Lösung 1

Die Textangabe, dass mit der Vektorgleichung

%%\displaystyle \vec X=\pmatrix{0\\0\\2}+\lambda\cdot\pmatrix{5\\10\\h-2}%%

eine Gerade %%g%% gegeben sei, auf der die untere Netzkante liegt, ist verwirrend und verstellt den Blick auf eine angemessene Lösungsstrategie.

Tatsächlich handelt es sich um unendlich viele Gerade, da die Gleichung neben %%\lambda%% einen weiteren Parameter %%h%% enthält.

Beispiele solcher in Abhängigkeit von %%h%% zu betrachtender Geraden %%g_h%% sind:

%%g_\color{red}{0}: \vec X=\pmatrix{0\\0\\2}+\lambda \cdot \pmatrix{5\\10\\\color{red}{-2}}\quad%% oder

%%g_\color{red}{6}: \vec X=\pmatrix{0\\0\\2}+\lambda \cdot \pmatrix{5\\10\\\color{red}{2}}%%.

Man nennt die Menge aller Geraden %%g_h%% eine Geradenschar.

Für sie kannst du folgende Lage - ohne besondere Rechnungen - aus den gegebenen Zahlenwerten ablesen:

  1. Jede Gerade besitzt denselben Aufpunkt mit den Koordinaten %%(0|0|2)%%. Man nennt diesen den Trägerpunkt der Schar. Hier ist dies der Eckpunkt %%E_1%% des Netzes auf dem Pfahl 1.
  2. Jede Gerade läuft - ausgehend von %%E_1%% - auf den Pfahl 2 zu, d.h. sie schneidet diesen.
    Begründung:
    Die %%x_1%%-Komponente und die %%x_2%%-Komponente sind konstant und zielen in der %%x_1x_2%%-Ebene als Vektor %%\pmatrix{5\\10}%% auf den Punkt %%P_2%%. Lediglich die %%x_3%%-Koordinate des jeweiligen Schnittpunktes %%P_h(5|10|p{_3})%% mit dem Pfahl 2 ist variabel und ergibt sich für %%\lambda=1%% so: %%p_3=2+\color{red}{1}\cdot (h-2)\;\Rightarrow\;p _3=h%%.

Eine beliebige Gerade der Schar %%g_{h}%% schneidet den Pfahl 2 somit im Punkt %%P_h(5|10|h)%% und liegt dadurch %%h-3%% über der Plattform 2.

Die Geradenschar %%g_h%% liegt also im Sachzusammenhang der Aufgabenstellung in der betrachteten Netzebene.

Die nachfolgende Graphik zeigt die räumliche Lage der Geradenschar %%g_h%% im Schrägbild.

Geradenschar im Schrägbild

Die Lösung der Teilaufgabe f) besteht nun darin, diejenige Gerade der Schar %%g_h%% zu bestimmen, welche die Gerade %%RT%% schneidet, denn genau diese berührt als untere Netzkante die Plattform 2.

Es ist:

%%g_h: \vec X=\pmatrix{0\\0\\2}+\lambda \cdot \pmatrix{5\\10\\h-2}\quad%%und wie bereits vorher aufgestellt:

%%RT:\vec X=\pmatrix{5\\7\\3}+\mu \cdot \pmatrix{-3\\3\\0}%%

%%g_h\cap RT \neq \varnothing%% verlangt, dass folgendes Gleichungssystem von drei Gleichungen mit den beiden Unbekannten %%\lambda%% und %%\mu%% lösbar ist:

%%\begin{array} {l r c l l} (\text I)&0+5\lambda&=&5-3\mu\\ (\text{II})&0+10\lambda&=&7+3\mu\\ (\text{III})&2+\lambda\cdot (h-2)&=&3+0\cdot \mu\\ (\text{I})+(\text{II}):&15\lambda&=&12&|\,:15\\ &\lambda&=&\displaystyle \frac45&|\;\lambda\;\text{in}\;(\text{III})\\ &2+\frac45\cdot\,(h-2)&=&3&|\;\text{nach h auflösen}\\ &\displaystyle \frac 45h&=&\displaystyle \frac {13}{5}&|\;\cdot5\;:4\\ &h&=&3,25\end{array}%%

Hinweis:

Der Parameterwert %%\mu%%, der aus %%(\text I)%% oder %%(\text{II})%% berechnet werden kann, ist hier nicht mehr nötig. Für genau %%h=3,25%% schneidet die Schargerade %%g_h%% als untere Netzkante die Plattform 2 in der Geraden %%PT%%.

Der Abstand des Eckpunktes %%E_2%% der unteren Netzkante von der Plattform 2 beträgt also auch nach dieser Lösung %%0,25\,m%%.

Anmerkung

Die Angabe in der Aufgabenstellung, dass für die Geradenschar %%h>3%% zu betrachten ist, muss dahin gehend korrigiert werden, dass gelten muss: %%h\geq 3,25%%.

Geraden %%g_h%% mit %%3\,<\,h<\,3,25%% würden im Sachzusammenhang der Aufgabenstellung als Netzkanten nicht gespannt werden können, da sie die Plattform 2 durchdringen müssten!

Alternative Lösung 2

Bei diesem Lösungsweg wird zunächst im Grundriss des Schrägbildes berechnet, in welchem Verhältnis die Plattformgerade %%RT%% die "Pfostenstrecke" einer Schargerade %%g_h%% teilt. Anschließend wendest du in einem Querschnitt den bekannten Vierstreckensatz an, um den gesuchten Abstand der zweiten Netzkante anzugeben.

%%R%% hat im Grundriss die Koordinaten %%(5/7)%% und %%T%% die Koordinaten %%(2|10)%%.

Die Grundriss-Koordinaten der Netzecke %%E_1%% sind %%(0|0)%% und die der Ecke %%E_2%% hast du mit %%(5|10)%%, da %%E_2%% ja auf dem vertikalen Pfahl 2 liegt.

Grundriss

Jetzt schneidest du die Grundrissgerade %%R'T'%% mit der Grundrissgeraden %%E_1'E_2'%%, indem du zuerst ihre Gleichungen bildest und diese dann gleichsetzt und das Gleichungssystem löst.

%%\begin{array}{l r c l l} R'T':&\vec X&=&\vec R+\lambda (\vec T-\vec R)&|\;\text{setze die Zahlenwerte ein}\\ &\vec X&=&\pmatrix{5\\7}+\lambda \pmatrix{-3\\3}\\ E_1'E_2':&\vec X&=&\vec{E_1'}+\mu(\vec{E_2'}-\vec{E_1'})&|\;\text{setze die Zahlenwerte ein}\\ &\vec X&=&\mu\pmatrix{5\\10}\end{array}%%

%%R'T'\cap E_1'E_2'%% ergibt das Gleichungssystem

%%\begin{array}{lrclll} (\text{I})&5-3\lambda&=&5\mu\\ (\text{II})&7+3\lambda &=&10\mu&\;\text{bilde (I)+(II)}\\ (\text{I})+(\text{II}):&12&=&15\mu&\;:15\\ &\mu&=&\displaystyle\frac45&|\;\text{setze in (I) ein und löse nach}\; \lambda\; \text{auf}\\ &5-3\lambda&=&4\\&\lambda&=&\displaystyle \frac13&|\;\lambda\text{ wird nicht weiter benötigt}\end{array}%%

Für %%\mu = \frac45%% erhältst du auf der Strecke %%[E_1'E_2']%% den Schnittpunkt %%S'(4|8)%% und dieser teilt diese Grundrissstrecke im Verhältnis %%4\,:\,1%%.

Da Parallelprojektionen Teilverhältnisse von Strecken nicht ändern, wird die wirkliche gesuchte Netzkante vom Berührpunkt %%S%% mit der Plattform 2 auch in einer Querschnittszeichnung senkrecht zur Geraden %%RT%% im Verhältnis %%4:1%% geteilt.

Vierstreckensatz

Der gezeichnete Querschnitt enthält im Dreieck %%E_1''FE_2''%% die Grundfigur für die Anwendung des Vierstreckensatzes.

Dabei gilt:

%%\displaystyle \frac{\overline{S''E_2''}}{\overline{E_1''S''}}=\frac 14=\frac{d}{1}\quad\Rightarrow\quad d=0,25%%

Damit liegt der Eckpunkt %%E_2%% der Netzkante auch bei dieser Lösung %%0,25\,\text{m}%% über der Plattform 2.