Aufgaben

(Bierschaumzerfall)

Bei einer schlecht eingeschenkten Maß Bier beträgt die Schaumhöhe anfangs 10 cm. Um das Bier einigermaßen trinken zu können, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumhöhe auf die Hälfte zurückgegangen.

a) Stelle die Zerfallsgleichung für den Bierschaumzerfall auf.

b) Berechne, wann die Schaumhöhe auf 1 cm zurückgegangen ist.

c) Bei einem anderen Gast beträgt die Schaumhöhe nach drei Miuten noch 3 cm. Wie war die Schaumhöhe nach dem Einschenken.

d) Mache plausibel, wann der Zerfall am stärksten ist.

a) Zerfallsgleichung

Die allgemeine Zerfallsgleichung lautet %%f(t)=f_0⋅(1-p)^t%%

Setze die gegebenen Werte (%%t%% in min, %%f(t)%% in cm) ein.

%%\displaystyle \begin{align} 0,5\cdot 10 &= 10\cdot (1-p)^{3}\\ \frac{1}{2} &= (1-p)^{3}\\ \sqrt[3]{\frac{1}{2}} &= 1-p \\ p &=1- \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \end{align}%%

Mit dem Zerfallsfaktor %%p%% und dem Startwert kannst du jetzt die Zerfallsgleichung aufstellen.

%%\displaystyle f(t)=10 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t%%

b) Schaumhöhe 1

Setze %%f(t) =1%% .

%%\displaystyle \begin{array}{rcll} 1 &= &10\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t &|:10\\ &&&|\log\\ \log_{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}\frac{1}{10}&=&t \\ t &\approx & 10 \end{array}%%

c) Schaumhöhe 2

Da es die Zerfallsgleichung ist, und 3 min die Halbwertszeit ist (laut Angabe), betrug die Schaumhöhe zu Beginn %%f_0 =3\cdot 2 =6%%.

Falls du das nicht siehst, kannst du auch die Werte einsetzen.

%%\displaystyle \begin{array}{rcll} 3 &= &f_0\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^3\\ 3 &= &f_0\cdot\frac{1}{2} &|\cdot 2\\ f_0&=&6 \end{array}%%

d) Stärkster Zerfall

Die Zerfallsfunktion ist eine Exponentialfunktion mit einer Basis, die kleiner ist als 1. Am Graphen erkennst du, dass der Zerfall am Anfang am stärksten ist.

Beim Reaktorunglück von Tschernobyl wurde eine Menge von etwa 400g radioaktiven Jod 131 freigesetzt.

Dieses Jod 131 hat eine so genannte Halbwertszeit von 8,0 Tagen, d.h. in jeweils 8,0 Tagen halbiert sich die Menge des noch vorhandenen radioaktiven Materials Jod 131.

  1. Wie kann man die Menge %%\mathrm M=\mathrm M\left(\mathrm t\right)%% des radioaktiven Jod 131 als Funktion der Zeit t angeben?

  2. Welcher Prozentsatz der ursprünglich vorhandenen Menge %%{\mathrm M}_0=400\mathrm g%% war nach einem Tag bzw. nach 30 Tagen noch vorhanden?

  3. Wie lange musste man etwa warten, bis von den 400g Jod 131 nur noch 1 Milligramm vorhanden war?

Exponentielles Wachstum

Allg. Formel: %%M\left(0\right)\cdot b^t=M\left(t\right)%%

Anfangswert a = %%400g%% %%=M\left(0\right)%%

Zeit %%\left[t\right]%% in Tagen

%%M\left(t\right)\;in\;g%%

%%M\left(8\right)=200g%%

Teilaufgabe a

  

Gesucht ist der Abnahmefaktor b

%%400g\cdot b^8=200g%%

%%b^8=\frac12%%

%%b=\sqrt[8]{\frac12}%%

%%b\approx0,917%%

%%\rightarrow M\left(t\right)=400g\cdot0,917^t%%

   

Teilaufgabe b

     

%%M\left(1\right)=400g\cdot0,917^1%%

%%=366,8\;g%%

%%\frac{366,8}{400}=0,917=91,7\% %%

%%M\left(30\right)=400g\cdot0,917^{30}%%

%%\approx29,73\;g%%

%%\frac{29,73}{400}\approx0,074=7,4\% %%

  

Teilaufgabe c

   

%%\frac1{1000}\;g=400\;g\cdot0,917^t%%

%%\frac1{400000}\;g=0,917^t%%

%%\log_{0,917}\left(\frac1{400000}\right)=148,87%%

%%\Rightarrow%% Man musste etwa 148,87 Tage warten.

Ein Taucher interessiert sich wegen Unterwassseraufnahmen dafür, welche Helligkeit in verschiedenen Tiefen herrscht.

Messungen in einem bestimmten (recht trüben) See ergeben, dass die Helligkeit pro Meter Wassertiefe um ca. 17% abnimmt.

  1. Wie groß ist die Helligkeit in 1m, 2m, 5m bzw. 10m Tiefe, verglichen mit der Helligkeit an der Wasseroberfläche?

  2. Beschreiben sie die Helligkeit H als Funktion der Wassertiefe x als Bruchteil der Helligkeit %%{\mathrm H}_0%% an der Wasseroberfläche.

  3. In welcher Tiefe beträgt die Helligkeit weniger als %%0,01\cdot{\mathrm H}_0%% ?

Exponentielles Wachstum

Für diese Aufgabe musst du dich mit exponentiellem Wachstum auskennen

allg. Formel             = %%H_0\cdot b^x=H%%

Abnahmefaktor b      = %%0,83%%

Anfangswert  %%H_0%%         = %%1\left(=100\%\right)%%

Exponent= %%\left[x\right]%% in Metern

%%\left[H\right]%% in Prozent

Der Abnahmefaktor b beträgt %%0,83%% da die Helligkeit bei jedem Meter um %%17\% %% sinkt und  somit immer das %%0,83%% -fache der vorherigen Helligkeit vorhanden ist.

Teilaufgabe a)

%%x=1m%%

%%100\%\cdot0,83=83\% %% der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.

%%x=2m%%

%%83\%\cdot0,83\cdot0,83=68,89\% %% der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.

%%x=5m%%

%%68,89\%\cdot0,83\cdot0,83\cdot0,83=39,39\% %% der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.

%%x=10m%%

%%39.39\%\cdot0,83^5=15,52\% %% der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.

Teilaufgabe b)

Formel:  %%H_0\cdot0,83^x=H%%

Teilaufgabe c)

%%H_0\cdot0,83^x%%

Kürze %%H_0%% heraus.

%%0,83^x%%

%%\log_{0,83}\left(0,01\right)%%

%%\Rightarrow%% Ab einer Teife von ca. %%24,72\;m%% beträgt die Helligkeit weniger als %%0,01\cdot{\mathrm H}_0%% .

Bakterien vermehren sich durch Teilung, wobei sich eine Bakterienzelle durchschnittlich alle 10 Minuten teilt. Zum Zeitpunkt t=0 sei genau eine Bakterienzelle vorhanden.

  1. Wie viele Bakterien sind dann nach 1 Stunde, 2 Stunden, 6 Stunden, 12 Stunde bzw. 24 Stunden vorhanden?

  2. Finde eine Formel für die Anzahl N= N(t) der Bakterien nach der Zeit t.

  3. Eine Bakterienzelle hat ein Volumen von ca. %%2 \cdot 10^{-18}\;\mathrm m^3%% . Wie lange dauert es, bis die Bakterienkultur ein Volumen von 1 m³ bzw. 1 km³ einnimmt? 
    Beurteile dein Ergebnis kritisch.

Exponentielles Wachstum

Thema dieser Aufgabe ist der exponentielle Wachstum.

allg. Formel

%%=a\cdot b^t=y%%

Wachstumsfaktor

%%b%%

Anfangswert

%%a = 1%%

Exponent

%%=\left[t\right]%% in Minuten

Anzahl der Bakterien

%%\left[y\right]%%

1. Teilaufgabe

Gesucht ist der Wachstumsfaktor b

Gegeben:

%%1\cdot b^{10}=2%%

%%\left|\cdot\sqrt[10]{}\right.\,%% Ermittle den Wachstumsfaktor %%b%%.

%%\sqrt[10]2=b%%

Ziehe die Wurzel.

%%b\approx1,072%%

%%\Rightarrow%% %%1,072^t=y%%

Bakterien nach einer bestimmten Zeit t

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=60%% (entspricht einer Stunde)

%%1,072^{60}\approx64%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=120%% (entspricht zwei Stunden)

%%1,072^{120}\approx4201%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=360%% (entspricht sechs Stunden)

%%1,072^{360}\approx74151975970%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=720%% (entspricht 12 Stunden)

%%1,072^{12\cdot60}\approx5498515541\cdot10^{12}%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Minuten

%%=1440%% (entspricht 24 Stunden)

%%1,072^{24\cdot60}\approx3023367315\cdot10^{34}%%

2. Teilaufgabe

%%1\cdot1,072^t=N\left(t\right)%%

Siehe 1. Teilaufgabe.

3. Teilaufgabe

1. Volumen

Formel:

%%2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1,072^t=1\,m^3%%

%%1,072^t%% entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen %%1m^3%% gleichgesetzt.

%%1,072^t=5\cdot10^{17}%%

%%\log_{1,072}\left(5\cdot10^{17}\right)\approx586,16%%

Rechne %%586,16%% Minuten in Stunden um.

%%\Rightarrow%% Es dauert ca. %%9,77%% Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von %%1m^3%% erreicht hat.

2. Volumen

%%2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1,072^t=1000000000\,m^3%%

%%1,072^t%% entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen %%1000000000\,m^3%% gleichgesetzt.

%%1,072^t=5\cdot10^{26}%%

%%\log_{1,072}\left(5\cdot10^{26}\right)=884,22%%

%%\Rightarrow%% Es dauert ca. %%14,74%% Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von  %%1000000000\,m^3%% erreicht hat.

Vor allem letzteres Ergebnis ist kritisch zu betrachten, da das Labor selbst kaum ein Volumen von %%1 \, km^3%% hat, sondern viel kleiner ist. Selbst wenn man merken würde, dass eine Bakterienkultur auf %%1 \, m^3%% anwächst, würde man dagegen etwas unternehmen! Trotzdem ist es interessant zu sehen, dass es theoretisch nur etwa %%13%% Stunden dauern würde, bis sich Bakterien derart vermehren.

Hans eröffnet am 1. Januar ein Konto und zahlt darauf 500€ ein.

Er erhält jählich 2,5% Zinsen, die er am Ende des Jahres jeweils auf das Konto gutschreiben lässt

  1. Wie lautet der Kontostand nach 1, 2, 5 bzw. 10 Jahren?

  2. Wie lange müsste Hans warten, damit sich sein Anfangskapital von 500€ verdoppelt hat?

Exponentielles Wachstum

allg. Formel             = %%a\cdot b^t=y%%

Wachstumsfaktor b = %%1,025%%

Anfangswert a        = %%500\;%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

%%\left[y\right]%% in Euro

Erhält Hans jährlich %%2,5\% %% Zinsen auf sein Kapital so beträgt sein Kontostand das 1,025-fache des vorherigen Betrags von 500 Euro.

   

Teilaufgabe a

   

Gesucht ist y

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

= %%1%%

Nach einem Jahr ist sein Kontostand um das genau %%1,025^1%% -fache des vorherigen Betrages gestiegen.

%%500\cdot1,025^1=512,50%% Euro

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

=2

Nach zwei Jahren wird auf den vorherigen bezinsten Betrag erneut das 1,025 fache aufgschlagen.Ein Zuwachs von  %%1,025\cdot1,025\;%% also  %%5,1\% %% .

%%500\cdot1,025^2=525,31%% Euro

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

=5

%%500\cdot1,025^5=565,70%% Euro

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

=10

%%500\cdot1,025^{10}=640,04%% Euro

 

Teilaufgabe b

    

allg. Formel             = %%a\cdot b^t=y%%

Wachstumsfaktor b = %%1,025%%

Anfangswert a        = %%500\;%%

y

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

%%\left[y\right]%% in Euro

Gesucht ist t

Gesucht ist hierbei die Variable %%\left[t\right]%% in Jahren, also die Anzahl der Jahre die verstreichen müssen, bis Hans 1000 Euro auf seinem Konto hat.

%%500\cdot1,025^t=1000%%

%%\left|:\;500\right.%%

%%1,025^t=2%%

%%\left|\cdot\log\left(\right)\right.%% Logarithmiere.

%%\log_{1,025}\left(2\right)=t%%

%%t\approx28,2\;%% Jahre

%%\Rightarrow%% Im 29. Jahr besitzt Hans 1000 Euro auf seinem Konto.

(Beachte dabei, dass in der Aufgabenstellung festgelegt ist, dass Hans erst am Ende des Jahres seine Zinsen gutschreiben lässt. Nach 28,2 Jahren hat er zwar theoretisch die 1000€ erreicht, jedoch werden diese erst am Ende des Jahres, also nach insgesamt 29 Jahren, auf seinem Konto erscheinen.)

Derzeit gibt es kein politisches System auf der Erde, das nicht auf Wirtschaftswachstum setzt. 4% Wachstum gelten als wünschenswert und maßvoll: also jedes Jahr 4% mehr im Vergleich zum Vorjahr. Um wie viel Prozent wäre also bei diesem Wachstum die Wirtschaft nach…

  1. … 2 Jahren gewachsen?

  2. … 10 Jahren gewachsen?

  3. … 50 Jahren gewachsen?

Teilaufgabe a

4%-tiges Wachstum bedeutet, dass die Wirtschaftskraft das 1.04 fache vom Vorjahr beträgt.

Nach 2 Jahren also das 1.04 %%\cdot%% 1,04=1.0816 vom Ausgangsjahr. Das entspricht einem Zuwachs von 8,16%

 

Teilaufgabe b

1,0410 = 1,48024. Sie wäre also rund um das 1,5-fache gewachsen. Der Zuwachs wäre 48%.

 

Teilaufgabe c

Lösung: 1,0450 = 7,10668.

Nach 50 Jahren müsste sich die Wirtschaftsleistung etwa versiebenfacht haben. Fragt sich nur, wo da die Resourcen herkommen sollen…

Bei einem radioaktiven Stoff zerfällt jedes Jahr 10% der noch vorhandenen Masse. Berechne, wie viel nach 10 Jahren noch vorhanden ist.

Wenn jedes Jahr 10% zerfallen, dann sind im Umkehrrschluss nach jedem Jahr noch 90% vom Vorjahr vorhanden. Wir bezeichnen die Masse des Stoffes im Jahr 0 mit %%{\mathrm m}_0%% , im Jahr 1 mit %%{\mathrm m}_1%% , im Jahr 2 mit %%{\mathrm m}_2%% …, im Jahr 10 mit %%{\mathrm m}_{10}%% .

Jahr

Noch vorhandene Masse

0

%%{\mathrm m}_0%%

1

%%{\mathrm m}_1%% = %%0.9%% %%{\mathrm m}_0%%

2

%%{\mathrm m}_2%% = %%0.9%% %%{\mathrm m}_1%% = %%0.9%% ( %%0.9%% %%{\mathrm m}_0%% )= %%0.9^2%% %%{\mathrm m}_0%%

3

%%{\mathrm m}_3=0.9{\mathrm m}_2=0.9^3{\mathrm m}_0%%

%%\vdots%%

%%\vdots%%

9

%%{\mathrm m}_9=0.9{\mathrm m}_8=0.9(0.9^8{\mathrm m}_0)=0.9^9{\mathrm m}_0%%

10

%%{\mathrm m}_{10}=0.9{\mathrm m}_9=0.9(0.9^9{\mathrm m}_0)=0.9^{10}{\mathrm m}_0%% %%\approx0.3487{\mathrm m}_0%%

Nach 10 Jahren sind also etwa 34,87% des ursprünglichen Materials vorhanden.

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