Aufgaben

Die Skizze zeigt ein Parallelogram mit den Seitenlängen: %%\mathrm a=6\;\mathrm{cm}%% und %%\mathrm b=8\;\mathrm{cm}%% und dem Winkel %%\mathrm\alpha=70^\circ%%.

Berechne den WInkel %%\varepsilon%%.

Zielgleichung aufstellen

Zunächst suchen wir eine Gleichung, die den gesuchten Winkel %%\varepsilon%% enthält. Im Parallelogramm sind zunächst nur die Seitenlängen %%a%% und %%b%% sowie der Winkel %%\alpha%% bekannt. Da die Seite %%a%% dem gesuchten Winkel gegenüberliegt, bietet sich der Kosinussatz für %%a%% an.

Da sich in einem Parallelogramm die Diagonalen halbieren, haben die Seiten, die am Winkel %%\varepsilon%% anliegen die Länge %%\frac{e}{2}%% bzw. %%\frac{f}{2}%%. Die Zielgleichung ist also: $$a^2 = \left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2 - 2 \ \frac{e}{2}\ \cdot\frac{f}{2}\cdot \cos(\varepsilon)$$

Zielgleichung vereinfachen

Um später weniger rechnen zu müssen, kannst du die Gleichung durch Ausklammern und Kürzen vereinfachen:

$$a^2 = \frac{1}{4}\left(e^2 + f^2\right) - \frac{e\cdot f}{2}\cdot cos(\varepsilon)$$

Fehlende Größen berechnen

Die Längen von %%e%% und %%f%% kannst du mit dem Kosinussatz berechnen. Es gilt:

$$e^2 = a^2 + b^2 - 2ab\ cos(\alpha)$$ $$f^2 = a^2 + b^2 - 2ab\ cos(\beta)$$

In einem Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel zu 180°. Also ist %%\beta= 180° - \alpha%%. Zusammen mit den Supplementbeziehungen für Sinus und Kosinus gilt:

%%cos(\beta) = cos(180°-\alpha) = -cos(\alpha)%% und damit schließlich: $$f^2 = a^2 + b^2 + 2ab\ cos(\alpha)$$

Damit berechnest du die Werte von %%e^2, f^2%% bzw. %%e, f%%:

$$\begin{array}{lr} e^2 = 100 - 96\cdot cos(\alpha) \approx 67,17; & e \approx 8,20\\ f^2 = 100 + 96 \cdot cos(\alpha) \approx 132,83;& f \approx 11,53 \end{array}$$

Einsetzen in die Zielgleichung

Einsetzen in die Zielgleichung %%a^2 = \frac{1}{4}\left(e^2 + f^2\right) - \frac{e\cdot f}{2}\cdot cos(\varepsilon)%% ergibt:

$$\begin{array}{lrcll} & 36 & \approx &50 - 47,273 \; cos(\varepsilon)& |-50\\ \Leftrightarrow& -14 & \approx & - 47,273 \; cos(\varepsilon)& |: (-47,273) \\ \Leftrightarrow& cos(\varepsilon)& \approx &0,2962\\ \Leftrightarrow& \varepsilon& \approx & 72,77° \end{array}$$

Rechenarbeit ersparen

Mit den Gleichungen für %%e^2%% und %%f^2%% gilt: %%e^2 + f^2 = 2\left(a^2+b^2\right)%%.

Also ist mit %%a = 6%% und %%b = 8%%: %%e^2 + f^2 = 200%%

Der gesuchte Winkel %%\varepsilon%% hat die Größe 72,77°.

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