Aufgaben

Beim Zerschneiden einer rechteckigen Pizza in %%n%% waagrechte und %%n%% senkrechte Streifen entstehen Eckstücke (E), reine Randstücke (R) und Innenstücke (I), siehe Abbildung für %%n = 4%%. Stelle Terme auf, die die Zahl der Randstücke bzw. die Zahl der Innenstücke in Abhängigkeit von der Streifenzahl %%n%% beschreiben.

rechteckige Pizza

Terme aufstellen

Term für Randstücke

%%T_R(n)=4 \cdot (n-2)%%

%%n-2%% ist die Anzahl der Randstücke auf einer Seite des Quadrats. Das musst du dann noch mit 4 multiplizieren, weil das Rechteck 4 Seiten hat.

Term für Innenstücke

%%T_I(n)=(n-2) \cdot (n-2)%%

%%(n-2)%% ist die Anzahl der Pizzastücke in einer Reihe minus die Rand- oder Endstücke in der Reihe.

Zur Kontrolle kannst du zur Zahl der Innen-und Randstücke die Zahl der Eckstücke ( 4 Stück ) dazuzählen und vereinfachen, dann muss sich die Gesamtzahl der Stücke %%\left(n^2\right)%% ergeben.

%%\;\Rightarrow4\left(n-2\right)+\left(n-2\right)^2+4=\;\;%%

%%=4n-8+n^2-2n-2n+4+4%%

%%=n^2%%

Stelle einen Term auf, der den Mittelwert des Preises berechnet:

  • Preis einer Breze im ersten Geschäft: %%x%% 

  • Preis einer Breze im zweiten Geschäft: 12 % billiger, als im ersten

  • Eine Breze kostet im ersten Geschäft 25 % mehr, als im dritten Geschäft. 

Terme aufstellen

Thema dieser Aufgabe ist das Aufstellen von Termen.

Preis im zweiten Geschäft

Der Preis im zweiten Geschäft ist um %%12\% %% niedriger als der im Ersten:

%%100\%-12\%=88\% %%  des Preises im ersten Geschäft.

%%\text{Preis im zweiten Geschäft}=0,88\cdot x%%

Preis im dritten Geschäft

Der Preis im ersten Geschäft ist das %%1,25%%-fache des Preises im dritten Geschäft:

%%x=1,25\cdot \text{Preis im dritten Geschäft}%%

%%\text{Preis im dritten Geschäft}=\frac x{1,25}%%

%%\phantom{\text{Preis im dritten Geschäft}}=\displaystyle \frac x{\frac54}%%

Durch einen Bruch zu dividieren , bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.

%%\phantom{\text{Preis im dritten Geschäft}}=x\cdot\frac45%%

%%\phantom{\text{Preis im dritten Geschäft}}=0,8\cdot x%%

Mittelwert

Bilden des Mittelwerts der drei Preise:

%%\frac{x+0,88x+0,8x}3=\frac{2,68\cdot x}3\approx0,9x%%

Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge %%a=5 \mathrm{cm}%%. Bestimme den Term %%A(x)%% für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

03_mc: Dreieck im Quadrat

Terme aufstellen

  %%A_\bigtriangleup=A_\square-A_{\bigtriangleup1}-2\cdot A_{\bigtriangleup2}%%

Füge die Werte ein.

%%A_\bigtriangleup= 25-\frac12x^2-2\cdot\frac12\cdot5\left(5-x\right)=-\frac12x^2+5x%%, für %%x%% mit %%0< x \leq 5%%

In das Quadrat ist ein grau gefärbter "Doppelpfeil" eingezeichnet.

Gib den Flächeninhalt des Doppelpfeils in Abhängigkeit von %%x%% und %%y%% an.

 

Skizze zur Flächenbestimmung im Quadrat

Funktionen aufstellen

Formel für das Quadrat aufstellen:

%%A_\square=a^2%%

%%a=x+y%%

%%A_\square=\left(x+y\right)^2%%

Formel für das Dreieck aufstellen:

%%A_\bigtriangleup=\frac12\cdot g\cdot h%%

%%g%% und %%h%% entsprechen %%y%%, da es ein rechtwinkliges Dreieck ist.

%%A_{\bigtriangleup\measuredangle90^o}=\frac12y^2%%

Das ist die Fläche für eines der beiden Dreiecke.

Formel für die Fläche des Pfeils aufstellen:

%%A_\Leftrightarrow=A_\square-2A_\bigtriangleup=%%

Substrahiere die Fläche der beiden Dreiecke von der Fläche des Quadrats.

%%=\left(x+y\right)^2-y^2%%

%%=(x^2+2\mathrm{xy}+y^2)-y^2%%

%%=x^2+2xy%%

Der Spielfeldrand eines Fußballfeldes der Breite %%b%% und Länge %%l%% soll von den Zuschauern den Abstand %%x%% haben. Christian, Monika und Peter schreiben Terme auf, die den Flächeninhalt der Sicherheitszone beschreiben:

Christian: %%2\cdot\left(l+x\right)\cdot x+2\cdot\left(b+x\right)\cdot x%%

Monika: %%\left(2x+l\right)\cdot\left(2x+b\right)-l\cdot b%%

Peter: %%x\cdot\left(l+x+x\right)\cdot2+x\cdot b\cdot2%%

a) Beschreibe – gegebenenfalls mit Hilfe einer Skizze – wie die drei jeweils ihren Term gefunden haben könnten.

b) Zeige, dass die Terme äquivalent sind.

c) Klaus stellt den Term %%2\cdot l \cdot x+2\cdot b\cdot x%% auf und behauptet, dass dieser auch den Flächeninhalt der Sicherheitszone beschreibt. Was meinst du dazu?

d) In der Münchner Allianz-Arena ist das Spielfeld 105m lang und 68m breit. Der Sicherheitsabstand beträgt 7,5 m. Welchen Flächeninhalt hat die Sicherheitszone?

 

Teilaufgabe a

Terme überprüfen

Skizze Christian:

 7713_EApW4dUObl.png

Skizze Monika:

4645_5tikyqvQvn.png

Skizze Peter:

4644_FnyZAHj4ad.png

Teilaufgabe b

Term aufstellen

Zeige, dass die Terme äquivalent sind, indem du sie gleichsetzt.

Term Christian = Term Monika

%%2\cdot\left(l+x\right)\cdot x+2\cdot\left(b+x\right)\cdot x=\left(2x+l\right)\cdot\left(2x+b\right)-l\cdot b%%

%%2lx+2x^2+2bx+2x^2=4x^2+2xb+2xl+lb-lb%%

Zusammenfassen.

%%2lx+4x^2+2bx=4x^2+2xb+2xl%%

%%\Rightarrow%% Die Terme von Christian und Monika sind also äquivalent.

Term Peter = Term Monika

  %%4x^2+2bx+2xl=x\cdot\left(l+2x\right)\cdot2+x\cdot b\cdot2%%

Beide Seiten ausmultiplizieren.

%%4x^2+2bx+2xl=2lx+4x^2+2bx%%

 

%%\Rightarrow%% Also sind sowohl Christians als auch Monikas und Peters Terme äquivalent zueinander. 

Teilaufgabe c

%%2\cdot l\cdot x+2\cdot b\cdot x\overset?=4x^2+2xb+2lx%%

%%2lx+2bx\neq4x^2+2xb+2lx%%

%%\Rightarrow%% Klaus Term beschreibt nicht den Flächeninhalt der Sicherheitszone da sein Term nicht äquivalent zu den anderen ist. Sein Term beschreibt nur den Flächeninhalt der Quadrate über den Seiten des Spielfeldes %%l%% bzw. %%b%%

Teilaufgabe d

Term: %%4x^2+2xb+2xl%%

Variablen durch gegebene Zahlen ersetzen.

%%4\cdot7,5^2+2\cdot68\cdot7,5+2\cdot7,5\cdot105=%%

%%=225+1020+1575=2820\;\mathrm{m}^2%%

%%\Rightarrow%% Antwort: Der Flächeninhalt der Sicherheitszone beträgt %%2820\;\mathrm{m}^2%%

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Zu curriculum-topic-folder Aufgaben zum Aufstellen von Termen:
Hauke 2019-07-09 10:33:05
Ich habe im nächsten Schuljahr wieder eine 8.Klasse in Mathematik und würde vorschlagen, hier einige einfachere Einstiegsaufgaben zum Aufstellen von Termen einzufügen, z.B. den Umfang einer geometrischen Figur etc.
wolfgang 2019-07-09 14:34:41
Hallo Hauke,
ich antworte dir dazu auf deinem Profil.

Liebe Grüße
Wolfgang
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