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Aufgaben zum Aufstellen von Termen

1

Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a=5cma=5 \mathrm{cm}.Bestimme den Term A(x)A(x) für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt von Dreiecken

Den Flächeninhalt des gelben Dreiecks kannst du bestimmen, indem du die Flächeninhalte der beiden Dreiecke in Orange und des Dreiecks in Grün vom Flächeninhalt des Quadrats abziehst. Beachte dabei, dass die Dreiecke in Orange den selben Flächeninhalt haben.

Für den Flächeninhalt des gelben Dreiecks gilt also:

Das grüne Dreieck hat die Grundseite xx und die Höhe xx, also den Flächeninhalt: Agru¨n=12xx=12x2.A_{\bigtriangleup\text{grün}} = \dfrac12\cdot x\cdot x = \dfrac12x^2.

Ein oranges Dreieck hat die Grundseite a=5a=5 und die Höhe ax=5xa-x = 5-x, als Flächeninhalt also: Aorange=125(5x)=1225125xA_{\bigtriangleup \text{orange}} = \dfrac12 \cdot 5 \cdot \left(5-x \right) = \dfrac1225 - \dfrac12 \cdot 5 \cdot x

Das Quadrat hat die Seitenlänge a=5a=5 und damit den Flächeninhalt: A=52=25A_\square = 5^2= 25.

Jetzt kannst du diese Terme in die Formel für den Flächeninhalt des gelben Dreiecks einsetzen und erhältst:

2

Der Spielfeldrand eines Fußballfeldes der Breite bb und Länge ll soll von den Zuschauern den Abstand xx haben. Christian, Monika und Peter schreiben Terme auf, die den Flächeninhalt der Sicherheitszone beschreiben:

Christian: 2(l+x)x+2(b+x)x2\cdot\left(l+x\right)\cdot x+2\cdot\left(b+x\right)\cdot x

Monika: (2x+l)(2x+b)lb\left(2x+l\right)\cdot\left(2x+b\right)-l\cdot b

Peter: x(l+x+x)2+xb2x\cdot\left(l+x+x\right)\cdot2+x\cdot b\cdot2

a) Beschreibe – gegebenenfalls mit Hilfe einer Skizze – wie die drei jeweils ihren Term gefunden haben könnten.

b) Zeige, dass die Terme äquivalent sind.

c) Klaus stellt den Term 2lx+2bx2\cdot l \cdot x+2\cdot b\cdot x auf und behauptet, dass dieser auch den Flächeninhalt der Sicherheitszone beschreibt. Was meinst du dazu?

d) In der Münchner Allianz-Arena ist das Spielfeld 105m lang und 68m breit. Der Sicherheitsabstand beträgt 7,5 m. Welchen Flächeninhalt hat die Sicherheitszone?

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Teilaufgabe a

Terme überprüfen

Skizze Christian:

Skizze Monika:

Skizze Peter:

Teilaufgabe b

Term aufstellen

Zeige, dass die Terme äquivalent sind, indem du sie gleichsetzt.

Term Christian = Term Monika

Zusammenfassen.

\Rightarrow Die Terme von Christian und Monika sind also äquivalent.

Term Peter = Term Monika

Beide Seiten ausmultiplizieren.

\Rightarrow Also sind sowohl Christians als auch Monikas und Peters Terme äquivalent zueinander.

Teilaufgabe c

\Rightarrow Klaus Term beschreibt nicht den Flächeninhalt der Sicherheitszone da sein Term nicht äquivalent zu den anderen ist. Sein Term beschreibt nur den Flächeninhalt der Quadrate über den Seiten des Spielfeldes ll bzw. bb.

Teilaufgabe d

Term: 4x2+2xb+2xl4x^2+2xb+2xl

Variablen durch gegebene Zahlen ersetzen.

\Rightarrow Antwort: Der Flächeninhalt der Sicherheitszone beträgt 2820  m22820\;\mathrm{m}^2.

3

Beim Zerschneiden einer rechteckigen Pizza in nn waagrechte und nn senkrechte Streifen entstehen

  • Eckstücke (E),

  • reine Randstücke (R)

  • und Innenstücke (I),

siehe Abbildung für n=4n = 4.

Stelle Terme auf, die die Zahl der Randstücke bzw. die Zahl der Innenstücke in Abhängigkeit von der Streifenzahl nn beschreiben.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme aufstellen

Term für Randstücke

TR(n)=4(n2)T_R(n)=4 \cdot (n-2)

n2n-2 ist die Anzahl der Randstücke auf einer Seite des Quadrats. Das musst du dann noch mit 4 multiplizieren, weil das Rechteck 4 Seiten hat.

Term für Innenstücke

TI(n)=(n2)(n2)T_I(n)=(n-2) \cdot (n-2)

(n2)(n-2) ist die Anzahl der Pizzastücke in einer Reihe minus die Rand- oder Endstücke in der Reihe.

Zur Kontrolle kannst du zur Zahl der Innen-und Randstücke die Zahl der Eckstücke ( 4 Stück ) dazuzählen und vereinfachen, dann muss sich die Gesamtzahl der Stücke (n2)\left(n^2\right) ergeben.

  4(n2)+(n2)2+4=    \;\Rightarrow4\left(n-2\right)+\left(n-2\right)^2+4=\;\;

=4n8+n22n2n+4+4=4n-8+n^2-2n-2n+4+4

=n2=n^2

4

In das Quadrat ist ein grau gefärbter "Doppelpfeil" eingezeichnet.

Gib den Flächeninhalt des Doppelpfeils in Abhängigkeit von xx und yy an.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Quadrats

Funktionen aufstellen

Formel für das Quadrat aufstellen:

A=a2A_\square=a^2

a=x+ya=x+y

A=(x+y)2A_\square=\left(x+y\right)^2

Formel für das Dreieck aufstellen:

A=12ghA_\bigtriangleup=\frac12\cdot g\cdot h

gg und hh entsprechen yy, da es ein rechtwinkliges Dreieck ist.

A90o=12y2A_{\bigtriangleup\measuredangle90^o}=\frac12y^2

Das ist die Fläche für eines der beiden Dreiecke.

Formel für die Fläche des Pfeils aufstellen:

A=A2A=A_\Leftrightarrow=A_\square-2A_\bigtriangleup=

Substrahiere die Fläche der beiden Dreiecke von der Fläche des Quadrats.

=(x+y)2y2=\left(x+y\right)^2-y^2

1.Binomische Formel anwenden.

=(x2+2xy+y2)y2=(x^2+2\mathrm{xy}+y^2)-y^2

=x2+2xy=x^2+2xy