Lösung zu Teilaufgabe B 2.1

Skizze des Prismas

Lösung zu Teilaufgabe B 2.2

Skizze des Schiefbilds mit der Geraden MN

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Punkt %%M%% der Mittelpunkt der Strecke %%[EH]%% und %%N%% der Mittelpunkt der Strecke %%[FG]%% ist.

Außerdem soll %%S%% auf der Strecke %%[MN]%% liegen, wobei %%\overline{SN}=2 \, \text{cm}%% gilt.

Als erstes kannst du also die Punkte %%M%% und %%N%% sowie die Strecke %%[MN]%% einzeichnen.

Danach zeichnest du den Punkt %%S%% genau %%2\, \text{cm}%% links vom Punkt %%N%% auf der Strecke %%[MN]%% ein.

Jetzt kannst du den Winkel %%\sphericalangle KLP_1=\varphi=45°%% in dein Schrägbild einzeichnen.

Nun musst du noch den Winkel %%\sphericalangle LKS%% berechnen.

Dafür nutzt du die Tangensbeziehung %%\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}%%.

Um die Tangensbeziehung verwenden zu können, benötigst du einen rechten Winkel. Um diesen zu erhalten, zeichnest du zunächst den Lotfußpunkt %%S'%% von %%S%% auf der Strecke %%[KL]%% ein.

Der Punkt %%S'%% liegt nun %%2\, \text{(cm)}%% von %%L%% entfernt.

Es gilt also %%\overline{S'L}=2\, \text{(cm)}%%.

Mit %%\overline{KL}=6\, \text{cm}%% folgt dann %%\overline{KS'}=6-2 \, \text{cm}%%

Vielleicht hast du bereits bemerkt, dass der Winkel %%\sphericalangle LKS%% dem Winkel %%\sphericalangle S'KS%% entspricht und dass die Strecke %%[SS']%% genauso lang ist wie die Strecke %%[AE]%%. Es gilt also %%\overline{SS'}=7 \, \text{(cm)}%%.

Anwenden der Tangensbeziehung liefert nun:

%%\tan \left(\sphericalangle LKS\right)=\tan\left(\sphericalangle S'KS\right)=\dfrac{\overline{SS'}}{\overline{KS'}}=\dfrac{7}{6-2}=1{,}75%%.

Nun löst du die Gleichung nach dem Winkel %%\sphericalangle LKS%% auf. Dafür benötigst du die Umkehrfunktion des Tangens, nämlich den Arcustangens.

Auflösen liefert ungefähr:

%%\begin{array} &\tan \left(\sphericalangle LKS\right)&=1{,}75&|\arctan(\cdot)\\ \sphericalangle LKS&=\arctan(1{,}75)&\text{Berechne.}\\ \sphericalangle LKS&=60{,}26^\circ \end{array}%%

Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß

Falls du obiges Ergebnis im Bogenmaß berechnet hast, also deine Lösung %%\sphericalangle LKS=1{,}75%% war, musst du diese nun noch im Gradmaß angeben.

Mit %%\dfrac{b}{2\pi}=\dfrac{\varphi_1}{360°}%% kannst du dein Ergebnis vom Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen.

Dabei bezeichnet %%b%% den Winkel im Bogenmaß und %%\varphi%% den Winkel im Gradmaß.

Für %%b=1{,}0516%% erhältst du also mit %%\varphi_1=\sphericalangle LKS%% ungefähr

%%\sphericalangle LKS= \dfrac{b}{2\pi}\cdot 360°=\dfrac{1{,}0516}{2\pi}\cdot360°=60{,}26°%%.

Lösung zu Teilaufgabe B 2.3

In dieser Teilaufgabe arbeitest du mit dem Sinussatz.

Zuerst betrachtest du das Dreieck %%KLP_n%% und siehst, dass es nicht rechtwinklig ist. Daher kannst du in diesem Fall die Sinus-, Kosinus- und Tangensverhältnisse nicht verwenden.

Dafür ist der Sinussatz anwendbar. Dieser besagt, dass die Verhältnisse des Sinus eines Winkels und der dem Winkel gegenüberliegenden Seite in einem Dreieck konstant sind:

%%\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6492_iZV9VMFFJJ.xml

In dieser Teilaufgabe gilt also mit dem Sinussatz:

%%\displaystyle \frac{\overline{KL}}{\sin(\sphericalangle KP_nL)}=\frac{\overline{LP_n}}{\sin(\sphericalangle LKS)}. %%

Die Innenwinkelsumme des Dreiecks %%KLP_n%% beträgt immer %%180^\circ%%.

Damit kannst du den Winkel %%\sphericalangle KP_nL%% bestimmen.

Mit %%\sphericalangle LKS=\sphericalangle LKP_n%% und %%\varphi_1=\sphericalangle LKP_n%% gilt:

%%\begin{align} \sphericalangle KP_nL&=180^\circ-\sphericalangle LKS-\sphericalangle P_nLK\\ &=180°-\sphericalangle LKP_n-\sphericalangle P_nLK\\ &=180^\circ-\varphi_1-\sphericalangle P_nLK \end{align}%%.

Vollständige Skizze des Prismas

Nun löst du die obige Verhältnisgleichung nach %%\overline{LP_n}%% auf:

%%\begin{array} &&\dfrac{\overline{KL}}{\sin(\sphericalangle KP_nL)}&=\dfrac{\overline{LP_n}}{\sin(\sphericalangle LKS)}&|\cdot \sin\left(\sphericalangle LKS\right)\\ &\overline{LP_n}&=\sin\left(\sphericalangle LKS\right)\cdot\dfrac{\overline{KL}}{\sin\left(\sphericalangle KP_nL\right)}&|\, \sphericalangle LKS=\sphericalangle LKP_n\\ &\overline{LP_n}&=\sin\left(\sphericalangle LKP_n\right)\cdot\dfrac{\overline{KL}}{\sin\left(\sphericalangle KP_nL\right)} \\ \end{array}%%

Jetzt kannst du dein Ergebnis aus Teilaufgabe B 2.2, %%\varphi_1=\sphericalangle LKP_n=60{,}26^\circ%%, einsetzen.

Mit %%\overline{KL}=6\, \text{(cm)}%% und obigem Ergebnis erhältst du für %%\varphi=\sphericalangle P_nLK%%:

%% \begin{array} &\overline{LP_n}(\varphi)&=\sin(60{,}26^\circ)\cdot\dfrac{\overline{KL}} {\sin(180^\circ-60{,}26^\circ-\varphi)}&\, \, \text{Wende die Supplementbeziehung an.}\\ &=\sin(60{,}26^\circ)\cdot\dfrac{6}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}&\, \, \text{Berechne.}\\ &=\dfrac{5{,}21}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}\,\mathrm{(cm)} \end{array} %%

Hier hast du die allgemeingültige Supplementbeziehung %%\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)%% verwendet.

Die Länge %%\overline{LP_n}(\varphi)%% nimmt ihren kleinsten Wert an, wenn der Nenner möglichst groß ist.

Gesucht ist also das %%\varphi%%, für das %%\sin(60,26^\circ+\varphi)%% möglichst groß ist.

Du weißt, dass der Sinus Werte zwischen %%-1%% und %%1%% annimmt. Der größtmögliche Wert des Sinus ist also %%1%%.

Dieser Wert wird für den Winkel %%90^\circ%% angenommen.

Für %%90^\circ=60{,}26^\circ+\varphi%% folgt %%\varphi=90^\circ-60{,}26^\circ=29{,}74^\circ%%.

Damit erhältst du

%%\displaystyle\overline{LP_n}_\text{min}=\dfrac{5{,}21}{\sin(90^\circ)}=\dfrac{5{,}21}{1}=5{,}21\,\mathrm{(cm)}%%.

Lösung zu Teilaufgabe B 2.4

In dieser Teilaufgabe arbeitest du mit dem Kosinussatz.

Diesen wendest auf das Dreieck %%KLP_2%% an. Da die Schenkel %%[KL]%% und %%[LP_2]%% in einem gleichschenkligen Dreieck gleich lang sind berechnest du:

%%\begin{align} \displaystyle \overline{KP_2}^2&=\overline{LP_2}^2+\overline{KL}^2-2\cdot\overline{LP_2}\cdot\overline{KL}\cdot\cos(\sphericalangle KLP_2)\\ &=\overline{KL}^2+\overline{KL}^2-2\cdot\overline{KL}^2\cdot\cos(\sphericalangle KLP_2)\\ &=2\cdot\overline{KL}^2-2\cdot\overline{KL}^2\cdot\cos(\sphericalangle KLP_2)\\ &=2\cdot\overline{KL}^2\cdot\left(1-\cos(180^\circ-2\cdot 60,26^\circ)\right) \end{align}%%

Dabei hast du die Innenwinkelsumme im Dreieck %%KLP_2%% verwendet:

%% \sphericalangle KLP_2=180^\circ-\sphericalangle LKS-\sphericalangle LKS=180^\circ-2\cdot 60,26^\circ. %%

Setzt du nun %%\overline{KL}=6\,\mathrm{cm}%% aus der Aufgabenstellung ein, so erhältst du

%%\overline{KP_2}=\sqrt{2\cdot 6^2\cdot\left(1-\cos(180^\circ-2\cdot 60,26^\circ)\right)}=5,95\,\mathrm{(cm).} %%

Lösungen zu Teilaufgabe B 2.5

Diese Aufgabe benötigt die Flächeninhaltsformel für Trapeze sowie die Volumenformel für Pyramiden.

Erinnere dich zunächst, dass das Volumen einer schiefen Pyramide mit dem einer geraden Pyramide mit gleicher Höhe übereinstimmt. Die Formel lautet daher %% V=\frac 13 \cdot G\cdot h. %%

Dabei bezeichnet %%G%% die Grundfläche und %%h=\overline{P_nT_n}%% die Höhe.

Du benötigst also zunächst die Fläche des Trapezes %%ABCD%%. Da %%[KL]%% die Höhe des Trapezes ist, kannst du mit der Flächeninhaltsformel den Flächeninhalt der Grundfläche berechnen:

%% \displaystyle G=\frac 12\cdot (a+c)\cdot h=\frac 12 \left(\overline{AD}+\overline{BC}\right)\cdot \overline{KL}=\frac 12\cdot(8+12)\cdot 6=60\,\mathrm{(cm^2)} %%

Nun musst du noch die Länge %%\overline{P_nT_n}%% berechnen. Dazu wendest du die Sinusbeziehung auf das rechtwinklige Dreieck %%T_nLP_n%% an:

%% \overline{P_nT_n}=\sin(\varphi)\cdot\overline{LP_n}(\varphi) %%

Die Länge %%\overline{LP_n}(\varphi)%% kennst du bereits aus Teilaufgabe B 2.3 und kannst daher abschließend alles gesammelt in die Volumenformel der Pyramide einsetzen:

%% \displaystyle V=\frac 13\cdot 60\cdot \sin(\varphi)\cdot\frac{5,21}{\sin(60,26^\circ+\varphi)}=\frac{104,20\cdot\sin(\varphi)}{\sin(60,26^\circ+\varphi)}\,\mathrm{(cm^3)} %%

Lösung zu Teilaufgabe B 2.6

In dieser Teilaufgabe benötigst du erneut die Volumenformel von Pyramiden sowie die trigonometrischen Beziehungen.

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Grundfläche %%BCGF%% der Pyramide ein Rechteck ist. Daher gilt für den Flächeninhalt:

%% G=\overline{BC}\cdot\overline{FG}=\overline{BC}\cdot\overline{AE}=12\cdot 7=84\,\mathrm{(cm)} %%

Für die Höhe musst du die Länge der Strecke %%[P_3U]%% (siehe dazu die rechtsstehende Abbildung) berechnen. Hierbei ist %%U%% der Lotfußpunkt von %%P_3%% auf die Strecke %%[NL]%%.

Es gilt %%\overline{P_3U}=\overline{T_3L}%%.

Erinnere dich an die Kosinusbeziehung

%% \displaystyle \cos(\varphi)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{\overline{T_3L}}{\overline{LP_3}}. %%

Löst du diese nach %%\overline{T_3L}%% auf, so erhältst du

%% \overline{T_3L}=\cos(\varphi)\cdot\overline{LP_3}. %%

Die Länge %%\overline{LP_n}%% hast du bereits in Teilaufgabe B 2.3 für jedes %%n%% bestimmt:

%% \overline{LP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}21}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}\,\mathrm{cm.} %%

Diese Beziehung gilt selbstverständlich auch für %%n=3%% und du setzt ein, um

%% \overline{T_3L}=\cos(\varphi)\cdot\overline{LP_3}=\cos(\varphi)\cdot\dfrac{5{,}21}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}\,\mathrm{(cm).} %%

zu erhalten.

Mit der Volumenformel für Pyramiden gilt also

%% V=\dfrac13\cdot G\cdot h=\dfrac13\cdot G\cdot \overline{T_3L}=\dfrac{84}{3}\cdot\cos(\varphi)\cdot\dfrac{5{,}21}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}\,\mathrm{(cm^3).} %%

Dies setzt du mit dem in Teilaufgabe B 2.5 berechneten Pyramidenvolumen gleich und löst die Gleichung nach %%\varphi%% auf. Dafür benötigst du die Umkehrfunktion des Tangens, den Arcustangens. Um diesen zu verwenden kannst du die Taste %%\tan^{-1}%% auf deinem Taschenrechner benutzen. Damit erhältst du:

%% \begin{array}\displaystyle \dfrac{84}{3} \cdot\cos(\varphi)\cdot\dfrac{5{,}21} {\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}&=\dfrac{104,20\cdot\sin(\varphi)} {\sin(60,26^\circ+\varphi)} & |\cdot\sin(60,26^\circ+\varphi)\\ \dfrac{84}{3}\cdot5{,}21\cdot\cos(\varphi)&=104,20\cdot\sin(\varphi)& |:104{,}20\\ \dfrac{84\cdot5{,}21}{3\cdot104{,}20}&=\dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}& \text{Zusammenfassen.}\\ 1,4&=\tan(\varphi)&\text{Anwenden des }\arctan(\cdot)\text{ und Vertauschen der Seiten}\\ \varphi&=54{,}46^\circ \end{array} %%