Aufgaben
In einem Labor ist die Temperatur im Versuchsraum über einen Zeitraum von 36 Stunden von einem automatischen Meßgerät aufgezeichnet worden.
Die Aufzeichnung ergibt den folgenden Temperaturverlauf:
Graph mit Temperaturverlauf
Entnimm dem Graphen folgende Informationen:
a) Wie hoch war die Temperatur im Raum zu Beginn der Beobachtung?
b) Wann erreichte die Temperatur das erste Mal 20°C?
c) Wie viele Stunden war es im Versuchsraum 20°C oder wärmer?
d) Wann ungefähr erreichte die Temperatur ihren höchsten Wert?
e) Wie hoch war der höchste Temperaturwert ungefähr?
f) Wieviel °C betrug die Temperatur nach 28 Stunden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren

Teilaufgabe a)

Teil a1)
Zu Beginn der Beobachtung ist t=0t=0.
Gesucht ist also der Schnittpunkt der Kurve  des Temperaturverlaufs mit der y-Achse, d.h. mit der Temperaturachse.
Die y-Achse wird im Punkt (010)(0\vert10) geschnitten.
Antwort: Zu Beginn der Temperaturbeobachtung (t=0)(t=0) beträgt die Temperatur 10C10^\circ\mathrm{C}.


Teilaufgabe b)

Teil b1
Zeichne eine Gerade mit der Gleichung y=20y = 20 ein, da der Temperaturwert 20C20^\circ\mathrm{C} betragen soll.
Die Gerade y=20y = 20 schneidet die Kurve des Temperaturverlaufs zwei Mal.
In der Aufgabe wird nach dem ersten Mal gefragt. Das ist bei t=10t=10 Stunden der Fall.

Antwort: Nach 1010 Stunden erreichte die Temperatur das erste Mal 20C20^\circ\mathrm{C}


Teilaufgabe c)

Betrachte die Abbildung bei Teilaufgabe b).
Die Gerade mit der Gleichung y=20y = 20 schneidet den Temperaturverlauf sowohl bei t=10h t=10\mathrm{h} als auch bei t=22ht=22\mathrm{h}

Die Differenz der beiden Zeitwerte ist die gesuchte Lösung der Teilaufgabe c)
\Rightarrow  22h10h=12h22\mathrm{h} -10\mathrm{h} = 12\mathrm{h}.

Antwort: Im Versuchsraum war es 1212 Stunden lang 20C20^\circ\mathrm{C} oder wärmer.


Teilaufgabe d)

Teil d 1
Wir suchen den höchsten Punkt des Temperaturverlaufs.
Auf der Zeitachse entspricht ein Teilstrich 0,40,4 Stunden. Das Temperaturmaximum liegt zwischen 1616 und 1818 Stunden, beim 3. 3. Teilstrich. Zu den 1616 Stunden müssen also 30,4=1,23 \cdot 0,4 =1,2 Stunden addiert werden, so dass sich eine Zeit von 17,2 17,2 Stunden ergibt (senkrechte Gerade x=17,2x=17,2 ).
Anmerkung: Für 22 Stunden gibt es 55 Teilstriche,
d.h. ein Teilstrich entspricht 120min:5=24min120\mathrm{min} :5= 24\mathrm{min}. Zu den 1616 Stunden müssen also
324min=72min3\cdot24\mathrm{min}=72\mathrm{min} addiert werden. Das sind dann 1717 Stunden und 12min12\mathrm{min}.
Antwort: Nach etwa 17,217,2 Stunden (bzw. nach 1717 Stunden und 12min12\mathrm{min}) erreichte die Temperatur ihren höchsten Wert.


Teilaufgabe e)

Betrachte die Abbildung bei Teilaufgabe d).
Die eingezeichnete Parallele zur x-Achse durch das Maximum schneidet die y-Achse im Punkt (029)(0\vert29), d.h. das Temperaturmaximum hat etwa die Koordinaten (17,229)(17,2\vert29). Der y-Wert des Temperaturmaximums zeigt die höchste Temperatur an.
Antwort: Der höchste Temperaturwert betrug etwa 29C.29^\circ\mathrm{C}.


Teilaufgabe f)

Teil f 1
Zeichne in die Abbildung die Gerade x=28x=28. Sie schneidet die Kurve des Temperaturverlaufs im Punkt S(2816)S(28\vert16).
Antwort: Nach 2828 Stunden beträgt die Temperatur etwa 16C.16^\circ\mathrm{C}.


Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geschwindigkeit

Geschwindigkeit=StreckeZeitGeschwindigkeit=\frac{Strecke}{Zeit}​ oder auch v=stv=\frac{s}{t}
Der Läufer, dessen Lauf der orange Graph darstellt, erreicht die Geschwindigkeit 4m/s bereits nach 4 Sekunden, läuft dann aber weiter, ohne seine Geschwindigkeit zu steigern.
Der Läufer, dessen Lauf der blaue Graph darstellt, erreicht die Geschwindigkeit 4m/s erst nach 6 Sekunden, steigert dann aber seine Geschwindigkeit auf 6m/s. Diese Geschwindigkeit behält er dann bei.
> Der blaue Graph gehört zu Anna, der orange Graph gehört zu Basti

Endlich Schulschluss! Miriam steht am Fahrradstellplatz, setzt ihre Schultasche in den Korb auf dem Gepäckträger ihres Fahrrads und packt, weil es ein warmer Sommertag ist, auch ihre Jacke dazu. Sie schließt das Schloss ihres Fahrrads auf und fährt los.
Nachdem sie ein Stück weit gekommen ist, muss sie an einer Ampel warten. Dort bemerkt sie, dass sie ihre Jacke verloren hat.
Sie kehrt um, findet die Jacke auf dem Boden liegend, hebt sie auf und verstaut sie sicher auf dem Gepäckträger. Dann setzt sie ihren Heimweg fort.
Das Zeit-Ort-Diagramm ihres Heimwegs sieht ungefähr so aus:
Zeit-Ort-Diagramm zum Heimweg von Miriam
Beantworte die folgenden Fragen mit Hilfe des Diagramms:
  1. Um wie viel Uhr ist Miriam von der Schule losgefahren?
  2. Wie weit ist sie gefahren, bis sie zu der Ampel kam?
  3. Wann ist sie an der Ampel angekommen, und wie lange hat sie dort gewartet, ehe sie umkehrte, um die Jacke zu suchen?
  4. Wie weit von der Schule entfernt lag die Jacke auf dem Boden?
  5. Wie viele Meter musste Miriam insgesamt zusätzlich fahren, weil sie die Jacke verloren hatte?
  6. Musste Miriam auch beim zweiten Mal wieder an der Ampel warten, oder stand die Ampel diesmal auf Grün?
  7. Wie weit ist Miriams Schulweg?
  8. Wann kam Miriam vor ihrem Haus an?
Und überlege dir schließlich: Was könnte Miriam in der Zeit von 16:40 Uhr bis 16:45 Uhr getan haben?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren

Lösung Teilaufgabe 1

Betrachte zunächst die Zeitachse. Zwischen 16:0016:00 und 16:1516:15 Uhr gibt es 33 Blöcke mit jeweils 55 Teilstrichen, also 1515 Teilstriche für 1515 Minuten. Ein Teilstrich entspricht also 11 Minute.

Antwort: Die Fahrt beginnt demnach um 16:0516:05 Uhr (55 Teilstriche nach 1616 Uhr)

Lösung Teilaufgabe 2

Teil 2
Betrachte zunächst die Orts-Achse (y-Achse). Hier entspricht 11 Teilstrich 100100 Meter.
Geht man vom Ort um  16:1316:13 Uhr (22 Teilstriche links neben 16:1516:15 Uhr) nach links bis zur Orts-Achse oder y-Achse (roter Pfeil), so kann man dort 800m800 \mathrm{m} ablesen.

Antwort: Miriam hat 800m800 \mathrm{m} bis zur Ampel zurückgelegt.

Lösung Teilaufgabe 3

In Teilaufgabe 2 ist schon die Zeit genannt worden.

Antwort: Sie ist um 16:1316:13 Uhr an der Ampel angekommen.
Der waagerechte Wegstrich bedeutet Stillstand (keine Ortsveränderung). Dieser waagerechte Wegstrich ist genau 11 Teilstrich lang, d.h. sie hat 11 Minute gewartet, ehe sie umkehrte.


Lösung Teilaufgabe 4

Von den zurückgelegten 800800 Metern (siehe  Teilaufgabe 2) ist sie bis auf eine Entfernung von 500m500 \mathrm{m} zur Schule zurückgefahren.

Antwort: Die Jacke lag 500m500 \mathrm{m} von der Schule entfernt.

Lösung Teilaufgabe 5

Sie musste 800m500m=300m800 \mathrm{m} - 500\mathrm{m} =300 \mathrm{m} zurückfahren.

Antwort: Sie musste insgesamt 2300m=600m2\cdot300 \mathrm{m} = 600\mathrm{m} zusätzlich fahren, weil sie ihre Jacke verloren hatte.

Lösung Teilaufgabe 6

Der waagerechte Wegstrich an der Ampel ist wieder 11 Teilstrich lang.

Antwort:  Miriam musste 11 Minute an der Ampel warten.

Lösung Teilaufgabe 7

Teil 7
An Ende des Graphen befindet sich ein 55 Teilstriche langer waagrechter Wegstrich, d.h. es findet keine Ortsveränderung mehr statt. Danach endet der Graph, d.h. Miriam ist zu Hause angekommen. Geht man von diesem waagrechten Wegstrich nach links bis zur Orts-Achse oder y-Achse (roter Pfeil), so kann man dort 2500m2500 \mathrm{m} ablesen.

Antwort: Miriam hat einen Schulweg von 2500m.2500 \mathrm{m}.

Lösung Teilaufgabe 8

Der Graph endet um 16:4516:45 Uhr, d.h. Miriam ist zu Hause angekommen. Geht man von 16:4516:45 Uhr um 55 Teilstriche zurück, d.h. um 55 Minuten, so erhält man Miriams Ankunftszeit vor dem Haus.

Antwort: Miriam ist um 16:4016:40 Uhr vor ihrem Haus angekommen.
Zusatzfrage: Miriam bleibt noch 55 Minuten vor ihrem Haus stehen, da  sie noch ihre Sachen vom Fahrrad nehmen und das Fahrrad abschließen muss.
Alternativ könnte sie auch bemerkt haben, dass auf ihrem Handy eine SMS eingegangen ist und sie möchte noch schnell wissen, um was es geht.
Das Diagramm zeigt, wie viel Benzin sich zu jedem Zeitpunkt einer Reise im Tank eines Fahrzeugs befindet.
Diagram zu Aufgabe 3
Beschreibe knapp, was um 16:00 Uhr geschieht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren

gegebene Informationen:
  • Situation um 16:0016:00 Uhr: Auto mit 5l5\mathrm l Benzin gefüllt
  • Situation um 16:0016:00 Uhr: Auto mit 40l40\mathrm l Benzin gefüllt
Differenz des Benzinstandes um 16:0016:00 Uhr berechnen.
5l40l=35l=35l5\mathrm l-40\mathrm l=-35\mathrm l=\left|35\mathrm l\right|
        \;\;\Rightarrow\;\; Es wurden  35l35\mathrm l getankt.
Der Graph zeigt, wie ein Gefäß innerhalb von 10 Minuten mit Wasser gefüllt wird.
Graph
Auf folgenden Rennstrecken wurde die Geschwindigkeit einer Fahrerin in der 2. Runde gemessen.
Ordne die folgenden Geschwindigkeitsgraphen, den entsprechenden Rennstrecken zu. Begründe deine Entscheidung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren

Jede der Abbildungen von 1 bis 4 enthält verschiedene Streckenabschnitte. Sie geben Auskunft über die dort gefahrene Geschwindigkeiten.
Verläuft der Geschwindigkeitsgraph waagerecht, so wird dort mit konstanter Geschwindigkeit gefahren.
Ist die Steigung des Geschwindigkeitsgraphen negativ, so nimmt die Geschwindigkeit ab, d. h. hier wird gebremst.
Ist die Steigung des Geschwindigkeitsgraphen positiv, so nimmt die Geschwindigkeit zu, hier wird beschleunigt.
Die Kurvenform gibt Auskunft darüber wie stark gebremst werden muss.
Je enger die Kurve ist (starke Krümmung der Bahnkurve), desto stärker muss die Geschwindigkeitsabnahme erfolgen (starkes Bremsen). Bei einer nicht so stark gekrümmten Kurve ist auch die Geschwindigkeitsabnahme geringer.

So kann man anhand der Abbildungen 1 bis 4 die Art der Kurve identifizieren.

Der Graph der Rennstrecke a ist ein Kreis. Die Fahrt auf einem Kreis ist eine gleichförmige Kreisbewegung, bei der die Geschwindigkeit konstant bleibt. Der einzige Geschwindigkeitsgraph mit einer konstanten Geschwindigkeit von 180 kmh180~\frac{\text{km}}{\text{h}} (waagerechte Gerade) ist Graph Nr. 2.
Der Graph der Rennstrecke b enthält drei Kurven, eine sehr enge Kurve (starke Geschwindigkeitsabnahme bis auf 80 kmh80~\frac{\text{km}}{\text{h}} ) und zwei etwas weitere Kurven (geringere Geschwindigkeitsabnahme bis auf 180 kmh180~\frac{\text{km}}{\text{h}} ). Der Graph der Rennstrecke b enthält außerdem auch zwei längere, fast gerade Bahnstrecken. Zu den zwei längeren geraden Bahnstrecken gehören in der Abbildung 3 auch zwei längere Streckenbereiche mit gleicher Geschwindigkeit.
Zu b passt also nur der Graph 3 mit insgesamt drei Kurvenfahrten.
Der Graph der Rennstrecke c enthält vier gleich gestaltete Kurven und auch zwei längere gerade Bahnstrecken. Zu den zwei längeren geraden Bahnstrecken gehören in der Abbildung 4 auch zwei längere Streckenbereiche mit gleicher Geschwindigkeit. Zu c passt also der Graph 4 mit insgesamt vier gleichen Kurvenfahrten.
Der Graph der Rennstrecke d enthält drei sehr enge Kurven (starke Geschwindigkeitsabnahme von 240 kmh240~\frac{\text{km}}{\text{h}} bis auf 120 kmh120~\frac{\text{km}}{\text{h}} ) und drei etwas weitere Kurven (geringere Geschwindigkeitsabnahme von 240 kmh240~\frac{\text{km}}{\text{h}} auf 200 kmh200~\frac{\text{km}}{\text{h}} ). Zu dieser Abbildung passt also nur der Graph 1.
Im folgenden Abschnitt sind die Rennstrecken und die zugehörigen Geschwindigkeitsgraphen noch einmal nebeneinander dargestellt.


Graph zu Strecke a)

Graph zu Strecke b)

Graph zu Strecke c)

Graph zu Strecke d)

Welche der folgenden fünf Graphen gehören sicher nicht zu einer Funktion?
grüner Graph, Parabel
roter Graph, gedrehte Parabel
orange-farbener Graph von verschobener Hyperbel
türkisfarbener Graph, gedrehte verschobene Hyperbel
lilafarbener Graph, Wellenlinie x + sin(2x)
G3G_3 und G4G_4
G1,G3G_1, G_3 und G5G_5
G2G_2 und G4G_4
G2G_2 und G5G_5
Handelt es sich um eine Funktion oder nur um eine Zuordnung?
Einer Sängerin hat besonders erfolgreiche Lieder, auch Nummer 1 Hits genannt. Jedem Jahr wird die Anzahl dieser Nummer 1 Hits zugeordnet.
eine Funktion
nur eine Zuordnung
Diesmal wird die umgedrehte Richtung angeschaut:
Anzahl der Nummer 1 Hits \mapstoJahr
Es ist eine Funktion
Es ist nur eine Zuordnung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen

Dies ist nur eine Zuordnung. 0 Hits hat sie zum Beispiel in jedem Jahr, in dem sie keine Musik produziert.
Es gibt also keinen eindeutigen Wert, der der Anzahl 0 Hits zugeordnet wird und deshalb ist es nur eine Zuordnung, keine Funktion
Du kaufst Äpfel und zahlst jeden einzelnen davon. Die betrachete Zuordnung ist: Anzahl Äpfel \mapsto Preis
Es ist eine Funktion
Es handelt sich nur um eine Zuordnung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen

Es handelt sich um eine Funktion, denn jeder Stückzahl kann an diesem Tag eindeutig der zugehörige Preis zugeordnet werden.
Wieder kaufst du Äpfel. Diesmal interessiert dich aber der Zusammenhang Preis \mapsto Anzahl Äpfel
Es handelt sich um eine Funktion
Es ist lediglich eine Zuordnung

Überprüfe, ob jeweils eine direkte proportionale Zuordnung vorliegt und begründe kurz.

Teilaufgabe a.

Verbrauch in Liter

Strecke in km

4,25

12,75

70

210

 

Teilaufgabe b.

Stückzahl

Preis in €

2

4

10

1,60

3,20

7,20

 

Teilaufgabe c.

Menge in kg

Preis in €

2,5

0,5

10,0

2,5

 

Teilaufgabe a.

Hier liegt eine direkte proportional Zuordnung vor. Der Proportionalitätsfaktor ist konstant.

Es gilt: %%70\;km:4,25\;l=210\;km:12,75\;l%%

Teilaufgabe b.

Diese Zuordnung ist nicht direkt proportional.

Es ist: %%1,60€:2=0,80€=3,20€:4%%, aber %%7,20€:10=0,72€\neq0,80€%%.

Teilaufgabe c.

Die Zuordnung ist nicht direkt proportional. Die Quotienten "Preis pro Menge" sind nicht gleich groß.

%%10€:2,5kg=4€:kg\neq5€:kg=2,5€:0,5kg%%

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