Die Ableitung einer Umkehrfunktion lässt sich mithilfe der folgenden Formel bestimmen:

%%(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f\;'(f^{-1}(x))}%%

Video zur Ableitung einer Umkehrfunktion

Beispiel 1

Bestimmung der Ableitung von %%\ln(x)%%:

%%\ln(x)%% ist die Umkehrfunktion von %%e^x%%, d.h. hier ist %%f(x)=e^x%% und %%f^{-1}(x)=\ln(x)%%

Da dann %%f'(x)=e^x%% ist, ergibt sich für die Ableitung von %%\ln(x)%%:

%%\ln'(x)=\dfrac1{e^{\ln(x)}}=\dfrac1x%%

Beispiel 2

Bestimmung der Ableitung von %%\sqrt x%% :

%%\sqrt x%% ist die Umkehrfunktion von %%x^2%%, d.h. hier ist %%f(x)=x^2%% und %%f^{-1}(x)=\sqrt x%%

Mit  %%f'(x)=2x%% ist dann:

%%\left(\sqrt x\right)'=\dfrac1{2\sqrt x}%%

Bemerkung

Die Ableitung der Wurzelfunktion lässt sich alternativ auch über die Regeln für Potenzfunktionen oder direkt über den Differenzenquotienten berechnen.

Erklärung

Man will die Ableitung von %%f^{-1}%% an der Stelle %%x%% (rot gestrichelt) herausfinden, und betrachte dazu den Funktionsgraphen von %%f^{-1}%%:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2339_gTZYmN7fEi.xml

Nun spiegle man ihn an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten, sodass man den Graphen von %%f%% vor sich hat:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2341_5xafTneaGJ.xml

Man sieht, dass die Steigung der blauen Geraden im unteren Bild der Kehrwert der Steigung von der im oberen Bild ist, da sich die beiden Katheten im Steigungsdreieck vertauscht haben.

Im unteren Bild entspricht diese Steigung aber dem Funktionswert von %%f\;'%% an der grün gestrichelten Stelle %%y%%.

Es ist also %%(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f'(y)}%%.

Ein Blick ins obere Bild zeigt aber: %%y%% ist der Funktionswert von %%f^{-1}%% an der Stelle %%x%%!

Damit ist  %%(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f'(f^{-1}(x))}%%

Herleitung der Formel

Diese Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion kann man auch mithilfe der Kettenregel herleiten. Dafür nutzt man aus, dass

%%x=f(f^{-1}(x))%%

ist. Wir können jetzt beide Seiten ableiten:

%%\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}x=\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}f(f^{-1}(x))%%

Mit der Kettenregel bekommen wir

%%1= f\;'(f^{-1}(x))\cdot(f^{-1})'(x)%%

und Umstellen der Formel nach %%(f^{-1})'(x)%% liefert

%%(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f\;'(f^{-1}(x))}%%.

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