Die Kettenregel bildet eine Möglichkeit, die Ableitung der Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen %%u%% und %%v%% auszurechnen:

%%\left(u(v(x))\right)'=u'(v(x))\cdot v'(x).%%

Das Multiplizieren mit %%v'(x)%% heißt auch Nachdifferenzieren.

Um die Ableitung der Verkettung von %%u%% und %%v%% zu berechnen, setzt man also %%v\left(x\right)%% in die Ableitung %%u'%% ein und differenziert nach. Einfach gesagt: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung.":

%%\left(u(v(x))\right)'=\underbrace{u'(v(x))}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot \underbrace{v'(x)}_{\text{innere Ableitung}}%%

Zerlegung der Funktion

Soll eine verkettete Funktion, beispielsweise %%f\left(x\right)=\left(x+1\right)^2%%, mithilfe der Kettenregel abgeleitet werden, muss sie zunächst in die beiden Teilfunktionen %%u%% und %%v%% zerlegt werden, durch deren Hintereinanderausführung sie entsteht. Diese Zerlegung kann dadurch veranschaulicht werden, indem man sich  %%u%% als "äußere Funktion" und %%v%% als "innere Funktion" vorstellt. Im vorliegenden Beispiel ist die äußere Funktion die Quadratfunktion, also %%u\left(x\right)=x^2%%, und die innere Funktion %%v\left(x\right)=x+1%%. Verkettet man diese beiden Funktionen zu %%u(v\left(x\right))%% setzt also den Funktionsterm von %%v\left(x\right)%% an der Stelle %%x%% in den Funktionsterm von %%u%% ein, so erhält man wie gewünscht die Ausgangsfunktion  %%f\left(x\right)=\left(x+1\right)^2%%.

verkettung einer Funktion

Video zur Kettenregel

Beispiele

Funktion

äußere Funktion %%u%%

innere Funktion  %%v%%

$$f\left(x\right)=u\left(v\left(x\right)\right)=\left(2x-1\right)^3$$

$$u\left(x\right)=x^3$$

$$v\left(x\right)=2x-1$$

$$f\left(x\right)=u\left(v\left(x\right)\right)=\sin\left(x+\frac{\mathrm\pi}2\right)$$

$$u\left(x\right)=\sin\left(x\right)$$

$$v\left(x\right)=x+\frac{\mathrm\pi}2$$

$$f\left(x\right)=u\left(v\left(x\right)\right)=e^{x^2+1}$$

$$u\left(x\right)=e^x$$

$$v\left(x\right)=x^2+1$$

Anwendung der Kettenregel am Beispiel

Berechne die Ableitung der Funktion %%f\left(x\right)=\sin(x^4+2x^2)%%.

Zunächst zerlegt man %%f%% in %%u%% und %%v%% mit %%f(x) = u(v(x))%%.

$$f\left(x\right)=\sin(x^4+2x^2)$$

$$u(x)=\sin(x)$$

$$v(x)=x^4+2x^2$$

Dann berechnet man die Ableitungen von %%u%% und %%v%%

$$u^\prime\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

$$v^\prime\left(x\right)=4x^3+4x$$

… und setzt %%v(x)%% in %%u'%% ein.

$$u^\prime\left(v\left(x\right)\right)=\cos(x^4+2x^2)$$

Zuletzt muss man noch nachdifferenzieren und erhält ingesamt die Ableitung von %%f%%.

$$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \cos(x^4+2x^2) \cdot (4x^3 + 4x)$$

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