Eine Tangente an einen Graphen ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion %%f%% an einer bestimmten Stelle %%x_0%% berührt und dort dieselbe Steigung wie die Funktion besitzt. Die Tangente %%g%% hat folgende allgemeine Form:

$$g(x) = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$

Herleitung

Gesucht ist eine lineare Funktion %%g%%, die am Berührpunkt %%P\left(x_0 \mid f(x_0)\right)%% denselben Funktionswert und dieselbe Steigung wie die Funktion %%f%% besitzt:

$$g(x_0) = f(x_0) \text{ und } g'(x_0) = f'(x_0)$$

Die Funktion %%g%% erfüllt also die allgemeine Geradengleichung

$$g(x) = mx + t.$$

Man muss jetzt noch die Steigung %%m%% und den Achsenabschnitt %%t%% bestimmen. Da die Steigungen von %%g%% und %%f%% bei %%x_0%% übereinstimmen sollen, folgt %%m = f'(x_0)%% und

$$g(x) = f'(x_0)x + t.$$

Verwenden wir nun noch den bekannten Funktionswert %%g(x_0) = f(x_0)%%, so ergibt sich die Gleichung

%%g(x_0) = f'(x_0)x_0 + t = f(x_0)%% %%\mid -f'(x_0)x_0%%

$$t = f(x_0) - f'(x_0)x_0$$

Ingesamt ergibt sich damit

$$g(x) = f'(x_0)x + f(x_0)-f'(x_0)x_0 = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0).$$

Beispiel

Gegeben ist die Funktion %%f(x) = x^2%%. Die Tangente an der Stelle %%x_0 = 1%% ist nach der Tangentengleichung gegeben durch

$$g(x) = f'(1)(x-1) + f(1) = 2(x-1) + 1.$$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/921.xml

Tangente für gegebene %%x%%-Koordinate

Allgemeines Rezept

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion %%f(x)=x^2%%. Berechne die Tangente an der Stelle %%x=1%%.

Schreibe die allgemeine Geradengleichung auf.

%%y=mx+t%%

%%m%%: Steigung

%%t%%: %%y%%-Achsenabschnitt

Berechne die Ableitung.

%%f'(x)=2x%%

Setze den %%x%%-Wert in die Ableitung ein, um die Steigung zu erhalten.

%%f'(1)=2\cdot 1= 2%%

Setze die Steigung in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%y=2x+t%%

Berechne die %%y%%-Koordinate, die zur angegebenen %%x%%-Koordinate gehört. Setze dazu den %%x%%-Wert in die normale Funktion ein.

%%f(1)=1^2=1%%

%%P(1|1)%%

Setze die Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung ein und löse nach %%t%% auf.

%%1=2\cdot 1 + t%%

%%t=-1%%

Die Tangentegleichung hat die Form:

%%y=2x-1%%

Tangente mit gegebener Steigung

Allgemeines Rezept

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion %%f(x)=x^2%%. Berechne die Tangente(n) mit der Steigung %%m=-1%%.

Stelle die allgemeine Geradengleichung auf.

%%y=mx+t%%

%%m%%: Steigung

%%t%%: %%y%%-Achsenabschnitt

Berechne die Ableitung.

%%f'(x)=2x%%

Setze die Ableitung mit der Steigung gleich und löse nach %%x%% auf.

%%-1 = 2x%%

%%x=-\frac12%%

Setze den %%x%%-Wert in die Funktion ein, um einen Punkt zu erhalten.

%%f(-\frac12)=(-\frac12)^2=\frac14%%

%%P(-\frac12|\frac14)%%

Setze den Punkt und die Steigung in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach %%t%% auf.

%%\frac14=-1\cdot (-\frac12)+t%%

%%t=-\frac14%%

Die Tangentengleichung lautet also:

%%y=-x-\frac14%%

Wendetangente

Die Wendetangenten einer Funktion %%f%% sind die Tangenten an ihren Wendepunkten.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/919.xml

Beispiel

Berechne alle Wendetangenten der Funktion $$f(x) = x^4 + 2x^3 - 12x^2 + 3.$$

Zur Berechnung der Wendepunkte benötigt man die ersten drei Ableitungen.

$$f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 24x$$ $$f''(x) = 12x^2 + 12x - 24$$ $$f'''(x) = 24x + 12$$

Alle möglichen Wendepunkte erfüllen %%f''(x) = 0%%, man benötigt also die Nullstellen der zweiten Ableitung.

$$f''(x) = 12x^2 + 12x - 24 = 0$$

$$\left|\, \cdot \frac{1}{12}\right.$$

$$x^2 + x - 2 = 0$$

Das ist eine quadratische Gleichung, die mittels der Mitternachtsformel gelöst werden kann. Zunächst bestimmt man die Diskriminante.

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9$$

Wegen %%D > 0%% besitzt die Gleichung zwei Lösungen, die sich mit der Mitternachtsformel berechnen lassen.

$$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ $$x_1 = -2,\quad x_2 = 1$$

Man muss diese Stellen noch in die dritte Ableitung einsetzen, um zu überprüfen, ob hier Wendepunkte vorliegen.

$$f'''(x_1) = 24 \cdot (-2) + 12 \neq 0$$ $$f'''(x_2) = 24 \cdot 1 + 12 \neq 0$$

Da beide Stellen eine dritte Ableitung ungleich Null besitzen, liegt an beiden Stellen ein Wendepunkt vor. Zur Berechnung der Tangenten benötigt man noch den Funktionswert und den Wert der Ableitung an den entsprechenden Stellen

$$f(x_1) = (-2)^4 + 2\cdot(-2)^3 - 12 \cdot (-2)^2 + 3 = -45$$ $$f(x_2) = 1^4 + 2\cdot 1^3 - 12 \cdot 1^2 + 3 = -6$$ $$f'(x_1) = 4 \cdot (-2)^3 + 6 \cdot (-2)^2 - 24 \cdot (-2) = 40$$ $$f'(x_2) = 4 \cdot 1^3 + 6 \cdot 1^2 - 24 \cdot 1 = -14$$

Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung ergibt die beiden Wendetangenten %%g_1,g_2%%.

$$g_1(x) = f'(x_1)(x-x_1) + f(x_1) = 40(x-(-2)) - 45$$ $$g_2(x) = f'(x_2)(x-x_2) + f(x_2) = -14(x-1) -6$$

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Zu article Tangente an Graph:
Hinsh 2019-04-18 20:20:40
Frage :
Bei der Wendetangente entsteht die Funktion D = 1^2 - 4 * 1 * ( -2) = 9
Wo kommt da die 4 her ?
Ich bin einfach verwirrt, vielleicht übersehe ich es, aber ich finde es einfach nicht raus.

Ich wäre über eine Antwort sehr dankbar.
Grüße Hinsh
Renate 2019-04-18 21:32:10
Hallo Hinsh,

der von dir genannte Term %%1^2-4\cdot1\cdot (-2)%% ist, soweit ich sehe, einfach nur die Diskriminante aus der Mitternachtsformel, die hier zur Lösung der Gleichung %%x^2+x-2%% verwendet wird.
(Die "Mitternachtsformel" ist die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, falls dir der Ausdruck "Mitternachtsformel" nicht vertraut sein sollte)

Die Mitternachtsformel lautet

%%x_{1/2}= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}%%;

und der Term %%b^2-4ac%% unter der Wurzel wird Diskriminante genannt.

An der Diskriminante (bzw. am Vorzeichen der Diskriminante) entscheidet sich, ob es Lösungen der betreffenden quadratischen Gleichung gibt, und deshalb ist es sinnvoll, sie vorher separat auszurechnen, damit man weiß, ob man die weitere Rechnung überhaupt noch zu machen braucht.

Bei diesem "zweischrittigen" Verfahren berechnet man also zunächst
%%D=b^2 -4ac%%,
und die eigentliche Formel wird dann zu
%%x_{1/2}= \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}%%.

Dieses Verfahren wurde hier angewendet.

Beantwortet das deine Frage?

Viele Grüße
Renate

PS: Falls ich deine Frage falsch verstanden habe, oder sonst noch irgendetwas offen oder unklar ist, schreibe bitte gerne nochmal! :)
Hinsh 2019-05-15 10:29:42
Hallo Renate,

danke für die Antwort. Es hat sich mir endlich ergeben :) :)

LG Hinsh
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Zu article Tangente an Graph:
Menuja 2018-12-23 08:57:00
Hier wird die Vorstellung geweckt, dass eine Tangente genau einen Berührungspunkt hat oder? Ich hatte bis zu meiner Mathedidaktik-Vorlesung auch diese Fehlvorstellung gehabt. Hier würde ich noch ergänzen, dass die Tangente in einer lokalen Umgebung von x0 einen Berührungspunkt hat und eventuell Beispiele nennen, wo die Tangente mehrere Berührungspunkte hat (z. B. x^3, oder sin(x)).

In der Sek I wurden Tangenten an Parabeln behandelt und in Schulbüchern erwähnt: Sekante = 2 Schnittpunkte, Tangente = 1 Schnittpunkt, Passante = 0 Schnittpunkte. In der Sek II wird die Tangente über die Ableitung definiert und hier können wir lieber von einer "Schmieggeraden" sprechen.

Menuja 2018-12-23 08:58:45
Sek II:
Lokal hat die Tangente einen Berührungspunkt
Global kann eine Tangente mehrere Berührungspunkte haben
Kulla 2019-06-22 16:18:33
Ich habe den ersten Satz korrigiert, so dass nun die Definition stimmt. Aber ja: Man muss noch Inhalte mit aufnehmen, die diese Fehlvorstellung korrigieren.
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