Das Strecken bzw. Stauchen eines Funktionsgraphen kann man sich folgendermaßen vorstellen:
Der Graph ist auf einem elastischen Stoff gezeichnet. In yy-Richtung strecken heißt, den Stoff nach oben und unten zu ziehen, in xx-Richtung strecken heißt entsprechend, den Stoff nach links und rechts zu ziehen.
Um den Graphen zu stauchen, "schiebt" man den Stoff zusammen (ohne dass er Falten wirft).
Diese Änderung kann man auch mathematisch am Funktionsterm darstellen.

Streckungs- bzw. Stauchungsfaktor aa

Wenn die Funktion ff in yy -Richtung getreckt oder gestaucht werden soll, multipliziert man den Funktionsterm mit einem Faktor a0a\neq 0. Wenn die Funktion ff in xx-Richtung gestreckt oder gestaucht werden soll, dividiert man die Variable durch a0a\neq 0.
Ist a<1|a|<1 spricht man von Stauchen,
ist a>1|a|>1 von Strecken.

Beispiel

Strecken in yy-Richtung

f(x)=x213x+4,  f(x)=x^2-\frac13x+4,\; Streckungsfaktor (oft auch Streckfaktor genannt) a=6a=6
=> %%g(x)=a\cdot f(x)=6\cdot f(x)=6\cdot\left(x^2-\frac13x+4\right)=6x^2-2x+24%%

Strecken in xx-Richtung

f(x)=x213x+4,  f(x)=x^2-\frac13x+4,\; Streckungsfaktor (oft auch Streckfaktor genannt) a=3a=3
=> g(x)=f(xa)=(x3)213(x3)+4=x29x9+4g(x)=f(\frac xa)=(\frac x3)^2-\frac13(\frac x3)+4=\frac{x^2}9-\frac x9+4

Streckung und Stauchung in yy-Richtung

Im Folgenden ist der Graph GfG_ f der Ausgangsfunktion ff  rot eingezeichnet und der gestreckte bzw. gestauchte Graph GgG_ g der neuen Funktion gg schwarz.
Soll in yy-Richtung gestreckt (gestaucht) werden, wird der ganze Funktionsterm mit dem Faktor aa multipliziert:
g(x)=af(x)g(x)=a\cdot f(x)
Streckfaktor
a=12a=\frac12
a=2a=2
Funktionsterm der veränderten Funktion
g(x)=12f(x)g(x)=\frac12\cdot f(x)
g(x)=2f(x)g(x)=2\cdot f(x)
Geometrische Veränderung
Stauchung
Streckung
Graphen
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1869.xml
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1871.xml

Falls aa negativ ist, so wird der Graph zusätzlich noch an der xx-Achse gespiegelt.
Streckfaktor
a=2a=-2
a=12a=-\frac12
Funktionsterm der veränderten Funktion
g(x)=2f(x)g(x)=-2\cdot f(x)
g(x)=12f(x)g(x)=-\frac12\cdot f(x)
Geometrische Veränderung
Spiegelung an der x-Achse
Streckung
Spiegelung an der x-Achse
Stauchung
Graphen
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1865.xml
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1867.xml

Veranschaulichung am Applet

GeoGebra

Stauchung und Streckung in xx-Richtung

Wie oben ist auch hier der Ausgangsgraph GfG_f rot eingezeichnet und der gestreckte (gestauchte) Graph GgG_ g  schwarz.
Soll in xx-Richtung gestreckt (gestaucht) werden, wird die Variable xx durch den Faktor aa dividiert.
g(x)=f(xa)g(x)=f\left(\frac{x}a\right)
Streckfaktor
a=12a=\frac12
a=2a=2
Funktionsterm der veränderten Funktion
g(x)=f(2x)g(x)=f(2\cdot x)
g(x)=f(12x)g(x)=f(\frac12\cdot x)
Geometrische Veränderung
Stauchung
Streckung
Graphen
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2245_LmVH8JdMil.xml
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2247_OwAKEWSOP3.xml
Streckfaktor
a=1a=-1
a12a-\frac12
Funktionsterm der veränderten Funktion
g(x)=f(x)g(x)=f(-x)
g(x)=f(2x)g(x)=f(-2\cdot x)
Geometrische Veränderung
Spiegelung an der y-Achse
Spiegelung an der y-Achse
Stauchung
Graphen
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2251_ser3XaCo9k.xml
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2249_4LTn8HkhTt.xml

Veranschaulichung am Applet

GeoGebra

Video zur Streckung von Funktionsgraphen

Kommentieren Kommentare

abcdef 2017-11-11 18:10:50+0100
ähm.. bei der streckung und stauchung in x- richtung. Im ersten bsp soll der funktionsterm um 0,5 gestaucht werden. die dazugehörige graphik sieht aber so aus als würde die funktion um 2 in x-richtung gestreckt werden. stimmt das trotzdem, oder wurde was verwechselt??!
Nish 2017-11-12 20:03:07+0100
Hi,
die Graphiken stimmen (von der Idee) alle so. Wenn du dir Kowalsky's Kommentar weiter unten anschaust, stimmt wsl. bei der Streckung/Stauchung in y-Richtung einmal der Faktor 2 nicht mit dem gezeichneten Graphen überein. Wurde wsl. leider noch nicht ausgebessert...

Ich denke aber auch, dass so wie es gemacht wurde, schon etw. irritierend sein kann. Die roten, gestrichelten Graphen sind immer die Ausgangsgraphen und die gestreckten bzw. gestauchten Graphen sind schwarz eingezeichnet.
Kann es sein, dass du diese Vllt. verwechselt hast und so natürlich auf die umgekehrte Interpretation gekommen bist?

Ich persönlich fände es auch intuitiver, wenn der Ausgangsgraph ungestrichelt und der durch die Streckung bzw. Stauchung entstehende neue Graph gestrichelt eingezeichnet wird. Kann aber auch den Autoren bzw die Autorin verstehen, warum es so gemacht wurde. Würdest du es so lassen oder doch ändern?

Wir versuchen uns nächste Woche darum zu kümmern und ggf. die Bilder und das Applet zu überarbeiten!
Danke für deine Nachfrage!

Wenn dir noch was unklar ist, schreib jederzeit einfach wieder hier einen Kommentar oder schreib mir (Profil: https://de.serlo.org/user/profile/27693, Mail: nishanth@serlo.org).

LG,
Nish
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Kowalsky 2017-06-17 15:48:38+0200
Bei der Streckung und Stauchung in y-Richtung ist beim Beispiel Graphen für a = 2 die gestreckte Funktion zu stark gestreckt worden (etwa Faktor 3) ; gut erkennbar bei f(0) ; beim Applet gut zu sehen.
Nish 2017-06-18 12:45:34+0200
Vielen Dank für den Hinweis! Wir schauen uns das noch genauer an.
LG,
Nish
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Zu article Funktionsgraphen stauchen und strecken: Stauchen auch um Faktor 1?
Nessa 2015-12-17 10:39:57+0100
Ich bin mir nicht sicher, ob wir den Fall a=-1 in diesem Artikel behandeln sollten, da hier weder gestreckt noch gestaucht wird.
peterjaumann 2015-12-17 12:42:23+0100
Wenn du schon dabei bist, würde ich zu den ersten beiden Beispielen noch jeweils eine Skizze einfügen, damit diese nicht so abstrakt im Raum stehen. Beim ersten der beiden würde ich auch den Funktionstherm für f(x) erst konkret einsetzen, bevor er mit der 6 multipliziert wird.
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