Das Strecken bzw. Stauchen eines Funktionsgraphen kann man sich folgendermaßen vorstellen:

Der Graph ist auf einem elastischen Stoff gezeichnet. In %%y%%-Richtung strecken heißt, den Stoff nach oben und unten zu ziehen, in %%x%%-Richtung strecken heißt entsprechend, den Stoff nach links und rechts zu ziehen.

Um den Graphen zu stauchen, "schiebt" man den Stoff zusammen (ohne dass er Falten wirft).

Diese Änderung kann man auch mathematisch am Funktionsterm darstellen.

Streckungs- bzw. Stauchungsfaktor %%a%%

Wenn die Funktion %%f%% in %%y%% -Richtung getreckt oder gestaucht werden soll, multipliziert man den Funktionsterm mit einem Faktor %%a\neq 0%%. Wenn die Funktion %%f%% in %%x%%-Richtung gestreckt oder gestaucht werden soll, dividiert man die Variable durch %%a\neq 0%%.

Ist %%|a|<1%% spricht man von Stauchen,

ist %%|a|>1%% von Strecken.

Beispiel:

Strecken in %%y%%-Richtung

%%f(x)=x^2-\frac13x+4,\;%% Streckungsfaktor %%a=6%%

=> %%g(x)=a\cdot f(x)= 6\cdot f(x)=6\cdot\left(x^2-\frac13x+4\right)=6x^2-2x+24%%

Strecken in %%x%%-Richtung

%%f(x)=x^2-\frac13x+4,\;%% Streckungsfaktor %%a=3%%

=> %%g(x)=f(\frac xa)=(\frac x3)^2-\frac13(\frac x3)+4=\frac{x^2}9-\frac x9+4%%

Streckung und Stauchung in %%y%%-Richtung

Im Folgenden ist der Graph %%G_ f%% der Ausgangsfunktion %%f%%  rot eingezeichnet und der gestreckte bzw. gestauchte Graph %%G_ g%% der neuen Funktion %%g%% schwarz.

Soll in %%y%%-Richtung gestreckt (gestaucht) werden, wird der ganze Funktionsterm mit dem Faktor %%a%% multipliziert:

%%g(x)=a\cdot f(x)%%

Streckfaktor

%%a=\frac12%%

%%a=2%%

Funktionsterm der veränderten Funktion

%%g(x)=\frac12\cdot f(x)%%

%%g(x)=2\cdot f(x)%%

Geometrische Veränderung

Stauchung

Streckung

Graphen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1869.xml

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1871.xml


Falls %%a%% negativ ist, so wird der Graph zusätzlich noch an der %%x%%-Achse gespiegelt.

Streckfaktor

%%a=-2%%

%%a=-\frac12%%

Funktionsterm der veränderten Funktion

%%g(x)=-2\cdot f(x)%%

%%g(x)=-\frac12\cdot f(x)%%

Geometrische Veränderung

Spiegelung an der x-Achse

Streckung

Spiegelung an der x-Achse

Stauchung

Graphen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1865.xml

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1867.xml

Veranschaulichung am Applet

Stauchung und Streckung in %%x%%-Richtung

Wie oben ist auch hier der Ausgangsgraph %%G_f%% rot eingezeichnet und der gestreckte (gestauchte) Graph %%G_ g%%  schwarz.

Soll in %%x%%-Richtung gestreckt (gestaucht) werden, wird die Variable %%x%% durch den Faktor %%a%% dividiert.

%%g(x)=f\left(\frac{x}a\right)%%

Streckfaktor

%%a=\frac12%%

%%a=2%%

Funktionsterm der veränderten Funktion

%%g(x)=f(2\cdot x)%%

%%g(x)=f(\frac12\cdot x)%%

Geometrische Veränderung

Stauchung

Streckung

Graphen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2245_LmVH8JdMil.xml

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2247_OwAKEWSOP3.xml

Streckfaktor

%%a=-1%%

%%a-\frac12%%

Funktionsterm der veränderten Funktion

%%g(x)=f(-x)%%

%%g(x)=f(-2\cdot x)%%

Geometrische Veränderung

Spiegelung an der y-Achse

Spiegelung an der y-Achse

Stauchung

Graphen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2251_ser3XaCo9k.xml

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2249_4LTn8HkhTt.xml

Veranschaulichung am Applet

Video zur Streckung von Funktionsgraphen

Kommentieren Kommentare

abcdef 2017-11-11 18:10:50
ähm.. bei der streckung und stauchung in x- richtung. Im ersten bsp soll der funktionsterm um 0,5 gestaucht werden. die dazugehörige graphik sieht aber so aus als würde die funktion um 2 in x-richtung gestreckt werden. stimmt das trotzdem, oder wurde was verwechselt??!
Nish 2017-11-12 20:03:07
Hi,
die Graphiken stimmen (von der Idee) alle so. Wenn du dir Kowalsky's Kommentar weiter unten anschaust, stimmt wsl. bei der Streckung/Stauchung in y-Richtung einmal der Faktor 2 nicht mit dem gezeichneten Graphen überein. Wurde wsl. leider noch nicht ausgebessert...

Ich denke aber auch, dass so wie es gemacht wurde, schon etw. irritierend sein kann. Die roten, gestrichelten Graphen sind immer die Ausgangsgraphen und die gestreckten bzw. gestauchten Graphen sind schwarz eingezeichnet.
Kann es sein, dass du diese Vllt. verwechselt hast und so natürlich auf die umgekehrte Interpretation gekommen bist?

Ich persönlich fände es auch intuitiver, wenn der Ausgangsgraph ungestrichelt und der durch die Streckung bzw. Stauchung entstehende neue Graph gestrichelt eingezeichnet wird. Kann aber auch den Autoren bzw die Autorin verstehen, warum es so gemacht wurde. Würdest du es so lassen oder doch ändern?

Wir versuchen uns nächste Woche darum zu kümmern und ggf. die Bilder und das Applet zu überarbeiten!
Danke für deine Nachfrage!

Wenn dir noch was unklar ist, schreib jederzeit einfach wieder hier einen Kommentar oder schreib mir (Profil: https://de.serlo.org/user/profile/27693, Mail: nishanth@serlo.org).

LG,
Nish
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Kowalsky 2017-06-17 15:48:38
Bei der Streckung und Stauchung in y-Richtung ist beim Beispiel Graphen für a = 2 die gestreckte Funktion zu stark gestreckt worden (etwa Faktor 3) ; gut erkennbar bei f(0) ; beim Applet gut zu sehen.
Nish 2017-06-18 12:45:34
Vielen Dank für den Hinweis! Wir schauen uns das noch genauer an.
LG,
Nish
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Zu article Funktionsgraphen stauchen und strecken: Stauchen auch um Faktor 1?
Nessa 2015-12-17 10:39:57
Ich bin mir nicht sicher, ob wir den Fall a=-1 in diesem Artikel behandeln sollten, da hier weder gestreckt noch gestaucht wird.
peterjaumann 2015-12-17 12:42:23
Wenn du schon dabei bist, würde ich zu den ersten beiden Beispielen noch jeweils eine Skizze einfügen, damit diese nicht so abstrakt im Raum stehen. Beim ersten der beiden würde ich auch den Funktionstherm für f(x) erst konkret einsetzen, bevor er mit der 6 multipliziert wird.
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