Bei einer Funktionenschar gibt es neben der Variable %%x%% auch noch einen Parameter (häufig a oder k), welchen man frei auf eine Zahl festlegen kann. Für jede Besetzung des Parameters bekommt man einen anderen Funktionsterm und somit auch einen anderen Funktionsgraph.  

Repräsentanten der Funktionenschar

Möchte man Repräsentanten der Schar zu bestimmten Parameterwerten zeichnen oder damit rechnen, so setzt man die Werte des Parameters in die Funktion ein:

%%f_k(x)= \frac 1 2 x^3-kx^2-k^2%%

liefert zum Beispiel für %%k=3%% und %%k=-2%% die Funktionen

%%f_3(x)=\frac 1 2 x^3-3x^2-9%% und

%%f_{-2}(x)=\frac 1 2 x^3+2x^2-4%%.

Die entstandenen Funktionen kannst du wieder wie gewohnt untersuchen und zeichnen.

In Abhängigkeit vom Parameter

Häufig untersuchst du die Funktionenschar allerdings in Abhängigkeit von k. Doch was bedeutet das eigentlich?

Nun das heißt, dass das Ergebnis davon abhängt, welcher Wert des Parameters eingesetzt wird. Wie das konkret ausschauen kann, siehtst du gleich in dem Beispiel weiter unten. Ein schöne Übersicht über Sachen, die man in Abhängigkeit von einem Parameter berechnen kann, findest du auch im Artikel Kurvendiskussion mit Parameter.

Beispiel: Nullstellenberechnung mit Parameter

Willst du die Nullstellen der Funktion %%f_a(x)=x^2-a%% berechnen, so gehst du genau so vor, wie du es auch ohne Parameter tun würdest:

%%x^2-a=0\quad |+a%%

Löse nach %%x%% auf,

%%x^2=a\quad |\pm\sqrt \square%%

Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es

%%x= \pm \sqrt a%%

Die Nullstellen liegen bei %%x_1=\sqrt a%% und %%x_2=-\sqrt a%%.

Für %%a=4%% also zum Beispiel bei %%x_1=2%% und %%x_2=-2%%.

Graphische Beispiele

In diesen Beispielen siehst du, wie Funktionenscharen graphisch aussehen können. Beachte, dass es unendlich viele Repräsentanten einer Funktionenschar, also unendlich viele Funktionen gibt und man nie alle zeichnen kann.

%%{\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=\mathrm x+\mathrm k%%

k verändert hier den y-Achsenabschnitt, die Funkionen der Schar sind also nach oben oder unten verschoben.

%%{\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm k}2\mathrm x+3+\frac{\mathrm k}2%%

Gehen alle Funktionen einer Schar durch einen Punkt, so ist dieser ein gemeinsamer Punkt der Funktionenschar .

Funktionenschar

abgebildet sind hier %%f_{-1}, f_0, f_1, f_2, f_3%%.

Funktionenschar

abgebildet sind hier %%f_{-3},f_{-1}, f_1, f_2, f_4%%.

Veranschaulichung durch Applet

%%{\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=\mathrm x^3-\frac12\mathrm k^2\mathrm x%%

Verändert man das k an dem Schieberegler, dann verändert sich die schwarze Kurve entsprechend dem Paramter k.

Weiteres Beispiel als Ausblick

%%{\mathrm f}_\mathrm w(\mathrm x)=\tan\left(-\frac w2\right)(x-\cos(w))+\sin(w)%%

                Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1698.xml

Eine solche Funktionenschar wird höchstwahrscheinlich nicht Gegenstand in der Schule sein, hat aber ästhetischen Wert.

Kommentieren Kommentare

Zu article Funktionenschar:
Frodlovingo 2018-12-12 16:51:25
Was soll der Bullshit, hab nichts verstanden und mich extra angemeldet um euch den Dreck zu schreiben
Nish 2018-12-13 00:01:45
Hallo Frodlovingo,

erstmal danke für dein Feedback, auch wenn du es ein wenig netter formulieren hättest können!

Ich habe mir den Artikel angeschaut und bin auch der Meinung, dass er ausbaufähig ist! Das man auch lieber ein Bespiel einer Funktionenschar genauer behandeln sollte statt einfach drei Funktionsscharen ohne Erklärung anzugeben, sodass klar wird, was mit einer Funktionenschar gemeint ist! Ich finde also auch, dass es noch nicht gut ist!

Danke also für dein Feedback und wir werden sobald wie möglich versuchen, den Artikel zu optimieren!
Für die Zukunft würde ich dich bitten, deine Feedbacks höflich zu formulieren und auch noch konkreter zu werden (was verstehst du nicht? was möchtest du verstehen?)

Wenn du mir in einem Kommentar schreibst, was du nicht verstehst oder Ähnlichem, kann ich dir oder jdn. anderes aus der Community sogar helfen.

LG,
Nish
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