Die %%h%%-Methode ist eine andere Interpretation des Differentialquotienten. Anstatt %%x%% gegen %%x_0%% laufen zu lassen, lässt man diesmal die Differenz %%h = x - x_0%% gegen %%0%% laufen:

%%f'\left(x_0\right)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.%%

Damit lässt sich die Ableitung an der Stelle %%x_0%% berechnen.

Beispiel

Gegeben ist %%f(x)=x^2%%.

%%f'\left(x_0\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h%%

Zunächst setzt man %%f%% in die Formel ein …

%%=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\left(x_0+h\right)^2-x_0^2}h%%

… und löst die entstehende binomische Formel auf.

%%=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{x_0^2+2{x_0h}+h^2-x_0^2}h%%

%%=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{2{x_0h}+h^2}h%%

Dann klammert man %%h%% im Zähler aus …

%%=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{h\left(2x_0+h\right)}h%%

… und kürzt %%h%% anschließend.

%%=\lim_{h\to 0}(2x_0+\overbrace{h}^{\to 0})= 2x_0%%

Lässt man jetzt %%h%% gegen 0 laufen, so ergibt sich der Grenzwert.

Also ist die Ableitung von %%f(x)=x^2%% im Punkt %%x_0\in \mathbb R%%: %%f'(x_0)=2x_0%%

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Zu article h-Methode:
metzgaria 2017-10-24 10:48:28
Hallo!
Hier würde ich mir wünschen, dass im Beispiel noch mehr Verlinkungen eingeführt werden und eventuell noch ein oder zwei weitere Beispielaufgaben eingebunden werden, die die typischen Tricks (leicht verändert) anwenden.
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Zu article h-Methode:
Digamma 2016-11-27 18:23:19
Frage: Wäre es nicht besser, die betrachtete Stelle mit %%x_0%% statt mit %%x%% zu bezeichnen? Dadurch würde der Zusammenhang zur Version mit %%x_0%% und %%x%% klarer. Immerhin wird auch hier im ersten Absatz von %%x_0%% gesprochen.
Hannes 2016-11-27 19:05:28
Hi Digamma,
da hast du Recht! Vielen Dank für deinen Hinweis.
Hast du Lust das zu ändern? Falls nicht, mach ich es morgen. Ich werde auch noch ein Geogebra-Applet zur Veranschaulichung rein packen.
Beste Grüße
Hannes
Digamma 2016-11-27 20:46:34
Habe es geändert. Gruß, Digamma
Hannes 2016-11-29 07:37:52
Vielen Dank!
Hab jetzt noch ein Applet hinzugefügt. Wie findest du es?
Digamma 2016-11-29 19:19:44
Sehr gut. Nur eine Bemerkung: h kann auch negativ sein. Und das ist nicht unwichtig. Man sollte das Applet entsprechend ändern.
Digamma 2016-11-29 19:58:14
PS: Ich habe auch den Text des Artikels entsprechend geändert: Differenz statt Abstand.
Hannes 2016-11-30 07:06:41
ah guter Punkt. Hab ich geändert! Grüße
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