Die Grenzwertbetrachtung dient dazu, das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen entweder im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) zu ermitteln.

Das funktioniert, indem man x immer näher an die gewünschten Werte annähert und dabei überprüft, wie sich die zugehörigen y-Werte der Funktion verhalten.

Verhalten im Unendlichen

   %%\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)%%   prüft das Verhalten einer Funktion (des y-Wertes) wenn sich x an %%-\infty%% und %%+\infty%% annähert.

 

Diese Darstellung beinhaltet folglich zwei Untersuchungen, die getrennt voneinander durchgeführt werden.

Bestimmung der Grenzwerte durch Ausprobieren

Man ersetzt x durch einen sehr hohen positiven und einen sehr hohen negativen Wert und betrachte, wie sich der y-Wert der Funktion dabei verhält.

Berechnung des Grenzwerts

Um den Grenzwert sicher korrekt zu erhalten, ist es jedoch erforderlich, den Funktionsterm mit entsprechenden, von der Art des betreffenden Terms abhängigen Methoden genauer zu untersuchen, und den Grenzwert durch Berechnen zu bestimmen.  

 

Beispielaufgaben

Durch die Berechnung des Grenzwerts im Unendlichen erhält man den Wert der waagerechten Asymptote , falls vorhanden.  

Verhalten an der Definitionslücke

%%\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)%% prüft das Verhalten einer Funktion (des y-Wertes) wenn sich %%x%% der Definitionslücke %%x_0%% annähert.

 

Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert

Man kann allerdings nicht automatisch davon ausgehen, dass sich der Funktionsgraph von links und von rechts betrachtet gleich verhält.

%%\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)%% beinhaltet also zwei Untersuchungen, die getrennt voneinander durchgeführt werden.

 

Das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke muss von beiden Seiten betrachtet werden.

Ist %%x_0%% zum Beispiel 2, betrachtet man das Verhalten der Funktion bei 1,9999… und bei 2,000…1 da man sich einmal von links und einmal von rechts an den Punkt 2 annähert.

 

Beispiel

Verhalten an der Definitionslücke  %%x=0%% der Funktion %%f(x)=\frac1x%% :

Grenzwert

Das berechnet man so:

Rechtsseitiger Grenzwert: $$\lim_{x\rightarrow0^+}\frac1x=+\infty,$$

da man hier von einem Wert knapp über Null ausgeht.


Linksseitiger Grenzwert: $$\lim_{x\rightarrow0^-}\frac1x=-\infty,$$

da man hier von einem Wert knapp unter Null ausgeht.

 

Durch diese Berechnung erhält man entweder den Wert:

 

In diesem Beispiel verläuft durch die Polstelle %%P(0|0)%% eine senkrechte Asymptote.

 

weitere Beispielaufgaben

 

 

Kommentieren Kommentare

Zu article Grenzwertbetrachtung: lebensweltlicher bezug
Hokkaidokürbis 2016-07-13 08:28:37
hi, eine lehrerin hat mir zu der seite gesagt, dass sie gerne mehr lebensweltlichen bezug hätte, das sei ein standard kriterium an lernmaterialien. cf. klafki
Jakob1200 2018-01-07 13:14:10
Die Fixkostendegression wäre so ein "lebensweltlicher Bezug" oder Wachstums- oder Zerfallprozesse aus der Chemie...
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