Für gebrochenrationale Funktionen lässt sich einfach durch Vergleich der Grade von Zähler und Nenner bestimmen, ob diese Asymptoten im Unendlichen haben.
Um diese konkret zu bestimmen, werden hier verschiedene Rechentechniken gezeigt. Eine allgemeine Definition der Asymptote findest Du im Artikel Asymptote.

Zunächst einmal vier Skizzen. An diesen kann man sich orientieren, um sich das Aussehen der Asymptoten grob vorzustellen.

Grobe Skizzen durch Vergleich der Grade

Es gibt vier Faustregeln, um sich eine grobe Vorstellung von dem Verlauf der Asymptote zu machen. Diese gelten egal welche gebrochenrationale Funktion man sich gerade anschaut.

Hinweis: Mit ZG oder NG ist jetzt immer der Grad des Zählers beziehungsweise der des Nenners gemeint.

1. ZG (Zählergrad) < NG (Nennergrad)

waagrechte Asymptote bei %%y=0%%

legacy geogebra formula

2. ZG (Zählergrad) = NG (Nennergrad)

waagrechte Asymptote bei einem %%y%%- Wert %%\neq 0%%

legacy geogebra formula

3. ZG (Zählergrad) = NG + 1 (Nennergrad)

schiefe Asymptote (Gerade)

legacy geogebra formula

4. ZG (Zählergrad) > NG + 1 (Nennergrad)

kurvenförmige Asymptote

legacy geogebra formula

Anmerkungen

  • Im zweiten Fall muss man die Funktion genauer untersuchen, um zu wissen wo die waagerechte Asymptote liegt.

  • Diese Faustregeln gelten auch wenn die Funktionen Polstellen haben. Die Schwarz eingezeichneten Funktionen würden dann anders aussehen, aber der Verlauf der Asymptoten würde sich nicht groß ändern.

  • Im Fall ZG > NG  lässt sich der Funktionsterm der Asymptote mithilfe von Polynomdivision bestimmen.

  • Senkrechte Asymptoten können bei Nullstellen des Nenners auftreten. Die Vielfachheit der Nullstelle bestimmt hierbei ggf., ob ein Vorzeichenwechsel auftritt.

Berechnung der Asymptote

Bei gebrochenrationalen Funktionen betrachtet man zur Bestimmung der Asymptoten vor allem den Zähler- und Nennergrad (ZG und NG) und die Vielfachheit der Nullstellen in Zähler und Nenner.

Waagrechte Asymptoten

%%\mathrm{ZG} < \mathrm{NG}: y=0%% ist Asymptote.

%%\mathrm{ZG}=\mathrm{NG}%% : %%y=\dfrac{a_n}{b_n}%% ist Asymptote, wobei %%a_n%% der Koeffizient der höchsten Zählerpotenz und %%b_n%% der Koeffizient der höchsten Nennerpotenz ist.

legacy geogebra formula

Senkrechte Asymptoten

Bei Polstellen betrachtet man die Nullstellen des Nenners nach dem Kürzen des Bruchs.

Vielfachheit der Nullstelle %%x_0%%:

ungerade Vielfachheit %%\Rightarrow%% senkrechte Asymptote bei %%x_0%% mit Vorzeichenwechsel.

gerade Vielfachheit %%\Rightarrow%% senkrechte Asymptote bei %%x_0%% ohne Vorzeichenwechsel.

Um das Vorzeichen zu erhalten betrachtet man den links- und rechtsseitigen Grenzwert.

legacy geogebra formula

Schiefe Asymptoten

ZG = NG+1 %%\Rightarrow%% Es gibt eine schiefe Asymptote.

Die Geradengleichung der schiefen Asymptote erhält man durch Polynomdivision des Zählers durch den Nenner.

legacy geogebra formula

Beispiele

Man hat %%f\left(x\right)=\dfrac{\left(x+0,5\right)^3}{x^2}%% gegeben und will anhand einer Betrachtung der Asymptoten den Graphen skizzieren.

Skizzen: man sollte als allererstes grob einzeichnen, was man schon weiß.

Waagrechte Asymptoten

Mit der Grenzwertbetrachtung sieht man, dass es keine waagrechten Asymptoten gibt.

Senkrechte Asymptoten

Nenner %%x^2%% hat die Nullstelle 0 mit gerader Vielfachheit: zwei. %%\Rightarrow\;\;%% Es gibt eine senkrechte Asymptote bei 0 ohne Vorzeichenwechsel.

Setzt man einen Wert in den Funktionsterm ein, der geringfügig kleiner/größer als Null ist, erhält man das Vorzeichen der Funktion links/rechts der Null.

Man wählt zum Beispiel %%x=1%% . Das geht ohne Probleme, da es zwischen 0 und 1 keine Nullstelle gibt. Man erhält

$$f\left(1\right)=\dfrac{\left(1+0,5\right)^3}{1^2}$$

Da sowohl Nenner als auch Zähler in diesem Term positiv sind, weiß man, dass dieser Bruch positiv ist (auch ohne ihn explizit auszurechnen).

%%\Rightarrow\;\;%% Der Graph hat um die Null ein positives Vorzeichen.

Nun kann man den Funktionsgraphen mit seinen Asymptoten skizzieren.

legacy geogebra formula

Schiefe Asymptoten

Um den Zähler- und Nennergrad zu erhalten, multipliziert man diese aus:

%%\dfrac{\left(x+0,5\right)^3}{x^2}=\dfrac{x^3+1,5x^2+0,75x+0,125}{x^2}%%

%%\Rightarrow\;\;%% ZG %%=3=2+1=%%NG%%+1%%

%%\Rightarrow\;\;%% Es gibt eine schiefe Asymptote.

Mit Polynomdivision erhält man:

%%\left( x^3+1,5 x^2+0,75 x+0,125\right)\div x^{2\;}=%%

%%=\; x+1,5+\dfrac{0,75 x+0,125}{ x^2}%%

Offensichtlich ist der Nennergrad des Bruchs ganz rechts der Gleichung größer als der Zählergrad . Damit wird dieser Restterm für sehr große %%x%%-Werte immer kleiner und nähert sich der 0 an. Der Graph der gebrochenrationalen Funktion schmiegt sich deshalb dem Graphen der Asymptote mit der Gleichung %%g(x)%% an:

$$g\left(x\right)=x+1,5$$

Ob der Graph der Funktion oberhalb oder unterhalb der Asymptote verläuft, hängt vom Vorzeichen des Restterms an der jeweiligen Stelle ab.

legacy geogebra formula

%%x\lt0,1\overline{6}%%

%%x=-0,1\overline6%%

%%x\gt -0,1\overline6%%

Vorzeichen des Restterms

negativ

0

positiv

Lage der Funktionsgraphen

unterhalb der Asymptote

auf der Asymptote

oberhalb der Asymptote

Weitere Beispielaufgaben

Berechne die Asymptoten der folgenden Funktionen

Noch mehr Aufgaben zur Berechnung von Asymptoten findest du hier.

Kommentieren Kommentare

Hannes 2015-05-04 09:11:14
Sollte man evtl. einen allgemeinen Artikel zu Asymptote berechnen machen (mit ln-, e-Funktionen usw.) und einen speziell für gebrochen rationale Funktionen?
SebSoGa 2016-06-29 15:52:52
Hallo Hannes,
ich habe den Artikel ein wenig auf deinen Kommentar angepasst, da hier tatsächlich nur über die Berechnung der Asymptote bei gebrochenrationalen Funktionen gesprochen wird.
Was hältst du von dieser neuen Version?

LG
Sebastian
Hannes 2016-07-05 09:10:04
Cool,
dann brauchen wir aber noch einen eigenen Artikel Asymptote berechnen, wo auch die anderen Funktionen bzw. allgemein Funktionen behandelt werden.
SebSoGa 2016-07-06 10:18:13
Der existiert schon, und an dem arbeite ich gerade ;).
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