Meist interessiert man sich für das Krümmungsverhalten bestimmter Abschnitte des Graphen.

Dazu betrachtet man die zweite Ableitung:

%%f^{\prime\prime}(x)>0 \Rightarrow f%% linksgekrümmt

%%f^{\prime\prime}(x)<0 \Rightarrow f%% rechtsgekrümmt

Wie du Ableitungen berechnest, erfährst du im entsprechenden Artikel.

Merkhilfe

pos i tiv: l i nksgekrümmt

n e gativ: r e chtsgekrümmt

Definition

Das Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen an einer Stelle %%x%% ist die Richtungsänderung in diesem Punkt.

Man unterscheidet rechtsgekrümmte und linksgekrümmte Abschnitte sowie Wendepunkte.  

legacy geogebra formula

Merkhilfe rechts- und linksgekrümmt

Man überlegt sich, in welche Richtung man lenken müsste, wenn man mit einem Fahrrad den Funktionsgraphen nach %%+\infty%% abfahren würde. Die Richtung ist dann die Gleiche wie das Krümmungsverhalten.

Beispiel: Sinus-Funktion

Betrachtest du %%f\left(x\right)=\sin\left(x\right)%% im Bereich %%\left[0,\frac52f\pi\right]%%.

  • Die zweite Ableitung dieser Funktion ist  %%f''\left(x\right)=-\sin\left(x\right)%%.
  • Die %%x%%-Werte der Wendepunkte im Bereich  %%\left[0,\frac52\pi\right]%% sind %%x_1=0%%, %%x_2=\pi%%, %%x_3=2\pi%%.

Um zu Errechnen, wie der Graph von %%f%% im Bereich %%\left[0,\pi\right]%% gekrümmt ist, setzt man einen Punkt aus diesem Intervall in die zweite Ableitung ein und betrachtet das Vorzeichen:

Es ist dabei egal, welchen Punkt aus dem Intervall man nimmt, denn das Krümmungsverhalten zwischen zwei Wendepunkten ändert sich nicht.

Man wählt zum Beispiel %%x=\frac\pi2%%.

%%f^{\prime\prime}\left(\frac\pi2\right)=-\sin\left(\frac\pi2\right)=-1\;%%

Der Graph von %%f%% ist also im Bereich  %%\rbrack0,\pi\lbrack%% rechtsgekrümmt.

Mit dem gleichen Verfahren erhält man:

%%f%% in %%\rbrack\pi,2\pi\lbrack%% linksgekrümmt

%%f%% in %%\left[2\pi,\frac52\pi\right]%% rechtsgekrümmt

legacy geogebra formula

Beispiel: Quadratische Funktion

Sei eine quadratische Funktion %%f%% in der Form %%f(x)=ax^2+bx+c%% gegeben.

Die zweite Ableitung dieser Funktion ist %%f^{\prime\prime}(x)=2a%% .

Da %%a%% konstant und ungleich Null ist (ansonsten hätten wir keine quadratische Funktion), besitzt %%f%% keine Wendepunkte und behält also im gesamten Definitionsbereich %%\mathbb{R}%% das gleiche Krümmungsverhalten bei:

Ist %%a%% positiv,  so ist %%f%% linksgekrümmt (in der Grafik orange), 

ist %%a%% negativ, so ist  %%f%% rechtsgekrümmt (in der Grafik violett).

legacy geogebra formula

Kommentieren Kommentare

Nish 2019-04-03 12:37:29
Feedback (Verbesserungsvorschläge):

Es wäre schön, wenn man bei Gelegenheit die letzten zwei Bilder noch nach den Richtlinien für Grafiken ( siehe unter http://de.serlo.org/90412 v.a. Abschnitt Farben und Spezialfälle) überarbeiten könnte:

- Verwenden der Serlo-Farben
- Bei Koordinatensystemen:
- x- bzw. y-Achse immer mit "x" bzw. "y" beschriftet sind.
- die Achsenbeschriftungen gut lesbar sind.
- die Zahlenwerte auf den Achsen nur dann angezeigt werden, wenn sie zum Verständnis beitragen.

Bei Rückfragen oder Input zu meinem Vorschlag, gerne auf meinen Kommentar hier antworten ;)

LG,
Nish
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Karina-MOS 2018-11-13 15:17:51
Dieses Thema ist nach neuem Lehrplan in der 11.Klasse
Nish 2018-11-15 20:26:58
Vielen vielen Dank schonmal für deinen Hinweis, Karina-MOS! Super wertvoll für uns! Aus Zeitgründen melde ich mich morgen Abend bei dir nochmal um genauer auf deinen Kommentar einzugehen!

LG,
Nish
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