Aufgaben

Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab

%%f(x)= 2x-8%%

Nullstellenberechnung: Gerade f(x)=2x-8

Nullstelle

Hier wird die Nullstelle erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion %%f%% die x-Achse genau im Punkt (4|0) schneidet.

%%\Rightarrow%% Nullstelle bei %%x=4%%.

Graphische Veranschaulichung:

Funktion: f(x)=2x-8 mit Nullstelle x=4

Lösung durch Berechnung:

%%\begin{array}{l}f(x)=2x-8\\\end{array}%%

Setze %%f(x)=0%%

%%\begin{array}{l}2x-8=0\\\end{array}%%

|%%+8%%

%%2x=8%%

|%%:2%%

%%x=4%%

Die Nullstelle der Funktion liegt bei %%x=4%%.

%%g(x)=-x^2-7x-10%%

Nullstellenberechnung: Funktion g(x)=-x^2-7x-10, Parabel

Nullstelle

Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in den Punkten (-5|0) und (-2|0) schneidet.

⇒ Nullstellen bei %%x=-5%% und %%x=-2%%

Graphische Veranschaulichung:

Funktion g(x) mit den Nullstellen x=-5 und x=-2

Lösung durch Berechnung:

%%g(x)=-x^2-7x-10%%

Setze %%g(x)=0%%

%%-x^2-7x-10=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4(-1)(-10)}}{2(-1)}%%

Multipliziere die Klammern aus.

%%x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49-40}}{-2}%%

Berechne die Wurzel

%%x_{1,2}=\frac{7\pm3}{-2}%%

%%x_1=\frac{10}{-2}=-5%%

  1. Fall %%+%%

%%x_2=\frac{7-3}{-2}=-2%%

  1. Fall: %%-%%

Die beiden Nullstellen der Funktion liegen bei %%x_1=-5%% und %%x_2=-2%%.

%%h(x)=\frac{1}{10}(x + 6) (x - 2) (x - 4)%%

Nullstellenberechnung: Funktion h(x)=1/10(x+6)(x-4)

Nullstelle

Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion %%f%% die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.

⇒ Nullstellen bei %%x=−6%% und %%x=2%% und %%x=4%%.

Graphische Veranschaulichunng

Funktion h(x) mit den Nullstellen x=2 und x=4

Lösung durch Berechnung:

%%h(x)=\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)%%

Zur Berechnung der Nullstellen setze %%h(x)=0%%.

%%\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0%%

Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann %%0%%, wenn mindestens ein Faktor %%0%% ist.

Für %%x=-6%%, %%x=2%% und %%x=4%% gilt:

%%\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0%%

Die Nullstellen der Funktion liegen bei %%x=-6%%, %%x=2%% und %%x=4%%.

%%f(x)=3x^2+6x+3%%

Funktionsgraph

Nullstelle

Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.

⇒ Nullstellen bei x=−1.

Graphische Veranschaulichung

Funktionsgraph

Lösung durch Berechnung:

%%f(x)=3x^2+6x+3%%

Zur Berechnung der Nullstellen setze f(x)=0.

%%3x^2+6x+3=0%%

kürze durch 3

%%x^2+2x+1=0%%

|-1

%%x^2+2x=-1%%

Ermittle die Lösung durch raten.

%%x=-1%%

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstelle(n) zu folgenden Funktionen

%%f(x)=(x-5)^2%%

Vielfachheit von Nullstellen

%%f(x) = (x-5)^2%%

%%f(x)%% ist bereits in der Linearfaktordarstellung. Deshalb kannst du die Vielfachheit der Nullstelle direkt am Exponenten ablesen.

Die Funktion %%f(x) = (x-5)^\color{red}2%% hat bei %%x=5%% eine doppelte Nullstelle.

%%f(x)=x^2-9%%

Vielfachheit von Nullstellen

%%f(x) = x^2-9%%

Zerlege %%f(x)%% in Linearfaktoren.

Verwende die 3. binomischen Formel.

%%f(x) = (x-3)\cdot(x+3)%%

%%f(x) = (x-3)^\color{red}1\cdot(x+3)^\color{red}1%%

Lies aus der Linearfaktordarstellung die Vielfachheiten der Nullstellen an den Exponenten ab.

Die Funktion %%f(x) = x^2-9%% hat bei %%x=-3%% und %%x=3%% jeweils eine einfache Nullstelle.

%%f(x)= (x+8)\cdot (x-2)^2%%

Vielfachheit von Nullstellen

%%f(x) = (x+8) \cdot (x-2)^2%%

%%f(x)%% ist schon in Linearfaktordarstellung. Du kannst also die Vielfachheiten der Nullstellen direkt an den Exponenten ablesen.

Die Funktion %%f(x) = (x+8)^\color{red}1 \cdot (x-2)^\color{red}2%% hat bei %%x=-8%% eine einfache und bei %%x=2%% eine doppelte Nullstelle.

Bestimme die Intervalle auf der %%x%%-Achse, in denen der Graph der folgenden Funktionen oberhalb der %%x%%-Achse verläuft.

%%f(x)=x\cdot(x^2-9)%%

Verlauf des Graphen anhand von Nullstellen

Gegeben: %%f(x) = x \cdot (x^2 - 9)%%

Gesucht: Intervalle für die %%f(x) > 0%%

Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 3. binomischen Formel %%(a^2-b^2) = (a+b)\cdot(a-b)%%

%%f(x) = x\cdot(x^2-9) = x\cdot(x+3)\cdot(x-3)%%

Die drei Nullstellen bei %%x_1=0,\; x_2=-3,\; x_3 = 3%% sind einfache Nullstellen.

Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich %%]3, +\infty[%%

Für %%x%% im Intervall %%]3,+\infty[%% ist %%f(x)%% positiv, denn: $$f(x) = \underbrace{x}_{>0}\cdot \underbrace{(x+3)}_{>0} \cdot \underbrace{(x-3)}_{>0}$$

Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.

Weil es alles einfache Nullstellen sind, wechselt jedesmal bei den Nullstellen das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei %%x=3%%, also ist der Graph im Intervall %%]0,3[%% im negativen Bereich.

Einfache Nullstelle bei %%x=0%%, also ist der Graph im Intervall %%]-3,0[%% im positiven Bereich.

Einfache Nullstelle bei %%x=3%%, also ist der Graph im Intervall %%]-\infty,-3[%% im negativen Bereich.

Schreibe jetzt noch die Lösung auf.

Lösung: Der Graph verläuft in den Intervallen %%]-3,0[%% und %%]3,+\infty[%% oberhalb der %%x%%-Achse

%%g(x)=0.5\cdot(x^2-8x+16)\cdot(x+1)%%

Verlauf von Graph anhand von Nullstellen

Gegeben: %%f(x) = 0,5\cdot (x^2 - 8x + 16) \cdot (x+1)%%

Gesucht: Intervalle mit %%f(x) > 0%%

Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel %%(a^2 - 2ab + b^2) = (a-b)^2%%

%%f(x) = 0,5 \cdot(x-4)^2 \cdot(x+1)%%

Die Nullstelle bei %%x_1 = 4%% ist eine doppelte Nullstelle, die bei %%x_2=-1%% ist eine einfache.

Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich %%]4, +\infty[%%

Für %%x%% im Intervall %%]4,+\infty[%% ist %%f(x) > 0%%, denn: $$f(x) = \underbrace{0,5}_{>0} \cdot \underbrace{(x-4)^2}_{>0} \cdot \underbrace{x+1}_{>0}$$

Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.

Weil bei %%4%% eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich da das Vorzeichen nicht.

Doppelte Nullstelle bei %%x=4%%, also ist der Graph im Intervall %%]-1,4[%% ebenfalls im positiven Bereich

Weil bei %%-1%% eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei %%x=-1%%, also ist der Graph im Intervall %%]-\infty,-1[%% im negativen Bereich.

Schreibe jetzt noch die Lösung auf.

Lösung: Der Graph ist in den Intervallen %%]-1,4[%% und %%]4,+\infty[%% oberhalb der %%x%%-Achse.

%%h(x)= 0.1 \cdot (x+2.5)\cdot (x^2-x+\frac14) \cdot (x-4)%%

Verlauf des Graphen anhand von Nullstellen

Gegeben: %%f(x) = 0,1 \cdot (x+2,5) \cdot(x^2 - x + \frac{1}{4}) \cdot (x-4)%%

Geuscht: Intervalle mit %%f(x) > 0%%

Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel %%(a^2 - 2ab + b^2) = (a-b)^2%%

Dabei ist %%a=x%% und %%b = \frac{1}{2}%%

%%f(x) = 0,1 \cdot( x+2,5) \cdot (x-\frac{1}{2})^2 \cdot (x-4)%%

Die Nullstelle bei %%x_1 = -2,5%% ist eine einfache, die bei %%x_2 = \frac{1}{2}%% eine doppelte und die bei %%x_3=4%% wieder eine einfache Nullstelle.

Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich %%]4,+\infty[%%

Für %%x%% im Intervall %%]4, + \infty[%% ist %%f(x)%% positiv, denn: $$f(x) = \underbrace{0,1}_{>0} \cdot\underbrace{( x+2,5)}_{>0} \cdot \underbrace{(x-\frac{1}{2})^2}_{>0} \cdot \underbrace{(x-4)}_{>0}$$

Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.

Weil bei %%4%% eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei %%x = 4%%, also ist der Graph im Intervall %%]\frac{1}{2}, 4[%% im negativen Bereich.

Weil bei %%\frac{1}{2}%% eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen nicht.

Doppelte Nullstelle bei %%x = \frac{1}{2}%%, also ist der Graph im Intervall %%]-2,5 \;, \frac{1}{2}[%% ebenfalls im negativen Bereich.

Weil bei %%-2,5%% eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei %%x = -2,5%%, also ist der Graph im Intervall %%]-\infty, -2,5[%% im positiven Bereich.

Schreibe jetzt noch die Lösung auf.

Lösung: Der Graph ist in den Intervallen %%]-\infty, -2,5[%% und %%]4,+\infty[%% im positiven Bereich.

Skizziere mit Hilfe den gegebenen Informationen jeweils einen möglichen Verlauf des Graphen der folgenden Funktionen.

Die Polynomfunktion %%f%% vom Grad %%3%% besitzt Nullstellen bei %%x_1=-3%%, %%x_2=2%% und %%x_3=4%% und schneidet die %%y%%-Achse im Punkt %%(0|2)%%.

Graphen mithilfe von Nullstellen skizzieren

Gegeben:

Polynomfunktion vom Grad %%3%%

Nullstellen bei %%x_1 = -3 \\x_2 = 2 \\x_3 = 4%%

und Punkt %%(0,2)%%

Gesucht: Skizze von Graph

Zeichne zuerst die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem. Die Nullstellen liegen auf der %%x%%-Achse.

Koordinatensystem mit gegebenen Punkten

Da die Funktion vom Grad %%3%% ist, kann es keine weiteren Nullstellen geben und die drei Nullstellen sind einfache Nullstellen.

Der Verlauf geht also von %%(-3,0)%% zu %%(0,2)%% und dann zu %%(2,0)%%. Wichtig ist, dass er NICHT nochmal die %%x%%-Achse schneidet. Wo der Hochpunkt zwischen %%-3%% und %%2%% genau ist, ist egal.

Verlauf Graph Teil 1

Zeichne als Nächstes den Graph zwischen %%2%% und %%4%% weiter. Dort verläuft er im negativen Bereich. Auch hier ist egal, wo der Tiefpunkt zwischen %%2%% und %%4%% genau ist.

Verlauf Graph Teil 2

Zeichne jetzt den ganzen Graphen. Auch %%(-3,0)%% und %%(4,0)%% sind einfache Nullstellen, also schneidet der Graph die x-Achse.

Lösung: Lösung Funktion gesamt

Die Polynomfunktion %%g%% vom Grad %%4%% hat genau eine doppelte Nullstelle und ihr Graph ist symmetrisch zur %%y%%-Achse.

Graph mithilfe von Nullstellen skizzieren

Gegeben: Polynomfunktion vom Grad %%4%%,

genau eine doppelten Nullstelle,

und der Graph symmetrisch zur %%y%%-Achse

Gesucht: Skizze eines möglichen Graphen

Überlege zunächst, wo die doppelte Nullstelle hinkommt. Da der Graph symmetrisch zur %%y%%-Achse ist, muss sie bei %%(0,0)%% sein, denn wenn sie z.B. bei %%(2,0)%% wäre, müsste durch die Symmetrie bei %%(-2,0)%% auch eine sein. Ob der Graph die %%x%%-Achse von unten oder von oben berührt, ist beides richtig.

Doppelte Nullstelle im Koordinatensystem

Zeichne jetzt den weiteren Verlauf.

Beachte dabei: Die Funktion ist vom Grad %%4%%, also hat sie höchstens zwei weitere Nullstellen. Außerdem auch nur maximal %%3%% Extremstellen.

Eine mögliche Lösung:

Lösung Graph

Die Polynomfunktion %%h%% vom Grad %%6%% besitzt zwei mehrfache Nullstellen.

Graphen mithilfe von Nullstellen skizzieren

Gegeben: Polynomfunktion vom Grad %%6%%,

zwei mehrfache Nullstellen

Gesucht: Skizze von möglichem Graphen

Bei dieser Aufgabe gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, hier wird eine %%3%%-fache Nullstelle bei %%x=-1%% und eine doppelte Nullstelle bei %%x=2%% verwendet.

Du kannst aber beispielsweise auch zwei %%3%%-fache Nullstellen einzeichnen, oder zwei doppelte, oder eine doppelte und eine %%4%%-fache.

Skizziere als erstes den Verlauf der Funktion an einer Nullstelle.

Verlauf Graph an dreifacher Nullstelle

Überlege dann den Verlauf zur zweiten Nullstelle und wie er dort weiterläuft.

Verlauf Graph an dreifacher und doppelter Nullstelle

Ergänze jetzt den Graphen noch so, dass er zu einer Funktion vom Grad 6 passt. Dabei ist wichtig, dass der Graph entweder auf beiden Seiten nach %%+\infty%% oder auf beiden Seiten nach %%- \infty%% läuft.

Achte darauf, dass die Vielfachheiten der Nullstellen insgesamt höchstens 6 ergeben. Hier ist es eine 3-fache, eine doppelte und noch eine einfache Nullstelle.

Eine mögliche Lösung

Graph komplett

Ordne die Graphen jeweils der richtigen Funktion zu. Begründe.

  • %%f(x) = 0.1 \cdot (x + 2)^2\cdot(x - 4)^3%%

  • %%g(x) = -0.1\cdot (x + 2)^2 \cdot (x - 4)%%

  • %%h(x) = -0.01 \cdot (x + 2)^3 \cdot (x - 4)^2 \cdot (x - 2)%%

  • %%j(x) = 0.05 \cdot (x + 2) \cdot (x - 4) \cdot (x^2 + 1)%%

  • %%k(x) = -0.01 \cdot (x + 2)^4 \cdot (x - 4)^2 \cdot (x - 2)%%

Roter Graph

Lies als erstes die Nullstellen der Funktion ab.

Die Nullstellen des roten Graphen sind bei %%x_1 = -2%% und %%x_2 = 4%%.

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.

Die Nullstelle bei %%x_1=-2%% ist eine doppelte Nullstelle, weil sich das Vorzeichen nicht ändert. Die bei %%x_2 = 4%% ist eine einfache, da sich das Vorzeichen ändert.

Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da bei %%-2%% eine doppelte und bei %%4%% eine einfache Nullstelle ist, muss in der Funktion %%(x+2)^2\cdot(x-4)%% vorkommen. Das ist nur bei der Funktion %%g%% der Fall.

Lösung: Der rote Graph gehört zu der Funktion %%g%%.

Grüner Graph

Lies als erstes die Nullstellen der Funktion ab.

Die Nullstellen des grünen Graphen sind bei %%x_1 = -2%%, %%x_2 = 2%% und %%x_3 = 4%%.

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.

Die Nullstelle bei %%x_1=-2%% ist eine dreifache Nullstelle, weil sich das Vorzeichen ändert und der Graph an der Stelle flach ist. Die bei %%x_2 =2%% ist eine einfache, da sich das Vorzeichen ändert. Bei %%x_3 = 4%% ist es eine doppelte Nullstelle, weil sich das Vorzeichen nicht ändert.

Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da bei %%-2%% eine dreifache, bei %%2%% eine einfache und bei %%4%% eine doppelte Nullstelle ist, muss in der Funktion %%(x+2)^3\cdot(x-2)\cdot(x-4)^2%% vorkommen. Das ist nur bei der Funktion %%h%% der Fall.

Lösung: Der grüne Graph gehört zu der Funktion %%h%%.

Lila Graph

Lies als erstes die Nullstellen der Funktion ab.

Die Nullstellen des roten Graphen sind bei %%x_1 = -2%% und %%x_2 = 4%%.

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.

Die Nullstellen sind beides einfache Nullstellen, weil sich jedesmal das Vorzeichen ändert.

Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da sowohl bei %%2%% als auch bei %%4%% eine einfache Nullstelle ist, muss in der Funktion %%(x+2)\cdot(x-4)%% vorkommen. Das ist nur bei der Funktion %%j%% der Fall.

Lösung: Der lila Graph gehört zu der Funktion %%j%%.

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