Aufgaben zur Nullstelle

Aufgaben

Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab

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%%f(x)= 2x-8%%

Nullstellenberechnung: Gerade f(x)=2x-8

Nullstelle

Hier wird die Nullstelle erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion %%f%% die x-Achse genau im Punkt (4|0) schneidet.

%%\Rightarrow%% Nullstelle bei %%x=4%%.

Graphische Veranschaulichung:

Funktion: f(x)=2x-8 mit Nullstelle x=4

Lösung durch Berechnung:

%%\begin{array}{l}f(x)=2x-8\\\end{array}%%

Setze %%f(x)=0%%

%%\begin{array}{l}2x-8=0\\\end{array}%%

|%%+8%%

%%2x=8%%

|%%:2%%

%%x=4%%

Die Nullstelle der Funktion liegt bei %%x=4%%.

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%%g(x)=-x^2-7x-10%%

Nullstellenberechnung: Funktion g(x)=-x^2-7x-10, Parabel

Nullstelle

Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in den Punkten (-5|0) und (-2|0) schneidet.

⇒ Nullstellen bei %%x=-5%% und %%x=-2%%

Graphische Veranschaulichung:

Funktion g(x) mit den Nullstellen x=-5 und x=-2

Lösung durch Berechnung:

%%g(x)=-x^2-7x-10%%

Setze %%g(x)=0%%

%%-x^2-7x-10=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4(-1)(-10)}}{2(-1)}%%

Multipliziere die Klammern aus.

%%x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49-40}}{-2}%%

Berechne die Wurzel

%%x_{1,2}=\frac{7\pm3}{-2}%%

%%x_1=\frac{10}{-2}=-5%%

  1. Fall %%+%%

%%x_2=\frac{7-3}{-2}=-2%%

  1. Fall: %%-%%

Die beiden Nullstellen der Funktion liegen bei %%x_1=-5%% und %%x_2=-2%%.

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%%h(x)=\frac{1}{10}(x + 6) (x - 2) (x - 4)%%

Nullstellenberechnung: Funktion h(x)=1/10(x+6)(x-4)

Nullstelle

Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion %%f%% die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.

⇒ Nullstellen bei %%x=−6%% und %%x=2%% und %%x=4%%.

Graphische Veranschaulichunng

Funktion h(x) mit den Nullstellen x=2 und x=4

Lösung durch Berechnung:

%%h(x)=\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)%%

Zur Berechnung der Nullstellen setze %%h(x)=0%%.

%%\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0%%

Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann %%0%%, wenn mindestens ein Faktor %%0%% ist.

Für %%x=-6%%, %%x=2%% und %%x=4%% gilt:

%%\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0%%

Die Nullstellen der Funktion liegen bei %%x=-6%%, %%x=2%% und %%x=4%%.

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%%f(x)=3x^2+6x+3%%

Funktionsgraph

Nullstelle

Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.

⇒ Nullstelle bei x=−1.

Graphische Veranschaulichung

Funktionsgraph

Lösung durch Berechnung:

%%f(x)=3x^2+6x+3%%

Zur Berechnung der Nullstellen setze f(x)=0.

%%3x^2+6x+3=0%%

kürze durch 3

%%x^2+2x+1=0%%

|-1

%%x^2+2x=-1%%

Ermittle die Lösung durch raten.

%%x=-1%%

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Bestimme die Vielfachheiten der Nullstelle(n) zu folgenden Funktionen

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%%f(x)= x^7%%

Vielfachheit von Nullstellen

Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.

%%f(x) = x^7%%

Zerlege %%f(x)%% in Linearfaktoren

%%f(x) = (x \pm 0)^7%%

Lies die Vielfachheit der Nullstelle am Exponenten ab.

Die Funktion %%f(x)=x^7%% hat bei %%x=0%% eine Nullstelle der Vielfachheit 7.

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%%f(x)=6x%%

Vielfachheit von Nullstellen

Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.

%%f(x)=6x%%

Zerlege %%f(x)%% in Linearfaktoren

%%f(x)=6\cdot(x\pm0)^{1}%%

Lies die Vielfachheit der Nullstelle am Exponenten ab.

Die Funktion %%f(x)=6x%% hat bei %%x=0%% eine einfache Nullstelle.

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%%f(x)=(x-5)^2%%

Vielfachheit von Nullstellen

Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.

%%f(x) = (x-5)^2%%

%%f(x)%% ist bereits in der Linearfaktordarstellung. Deshalb kannst du die Vielfachheit der Nullstelle direkt am Exponenten ablesen.

Die Funktion %%f(x) = (x-5)^\color{red}2%% hat bei %%x=5%% eine doppelte Nullstelle.

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%%f(x)=x^2-9%%

Vielfachheit von Nullstellen

Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.

%%f(x) = x^2-9%%

Zerlege %%f(x)%% in Linearfaktoren.

Verwende die 3. binomischen Formel.

%%f(x) = (x-3)\cdot(x+3)%%

%%f(x) = (x-3)^\color{red}1\cdot(x+3)^\color{red}1%%

Lies aus der Linearfaktordarstellung die Vielfachheiten der Nullstellen an den Exponenten ab.

Die Funktion %%f(x) = x^2-9%% hat bei %%x=-3%% und %%x=3%% jeweils eine einfache Nullstelle.

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%%f(x)= (x+8)\cdot (x-2)^2%%

Vielfachheit von Nullstellen

Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.

%%f(x) = (x+8) \cdot (x-2)^2%%

%%f(x)%% ist schon in Linearfaktordarstellung. Du kannst also die Vielfachheiten der Nullstellen direkt an den Exponenten ablesen.

Die Funktion %%f(x) = (x+8)^\color{red}1 \cdot (x-2)^\color{red}2%% hat bei %%x=-8%% eine einfache und bei %%x=2%% eine doppelte Nullstelle.

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Bestimme die Intervalle auf der xx-Achse, in denen der Graph der folgenden Funktionen oberhalb der xx-Achse verläuft.
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f(x)=x⋅(x2−9)f(x)=x\cdot(x^2-9)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Gegeben: f(x)=x⋅(x2−9)f(x) = x \cdot (x^2 - 9)
Gesucht: Intervalle für die f(x)>0f(x) > 0
Faktorisiere zuerst ff. Dies geht hier mit der 3. binomischen Formel (a2−b2)=(a+b)⋅(a−b)(a^2-b^2) = (a+b)\cdot(a-b)
f(x)=x⋅(x2−9)=x⋅(x+3)⋅(x−3)f(x)=x\cdot(x^2−9)=x\cdot(x+3)\cdot(x−3)
Die drei Nullstellen bei x1=0,  x2=−3,  x3=3x_1=0,\; x_2=-3,\; x_3 = 3 sind einfache Nullstellen.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich ]3,+∞[]3, +\infty[
Für xx im Intervall ]3,+∞[]3,+\infty[ ist f(x)f(x) positiv, denn:

f(x)=x⏟>0⋅(x+3)⏟>0⋅(x−3)⏟>0f(x)=\underbrace{x}_{>0} \cdot \underbrace{(x+3)}_{>0} \cdot \underbrace{(x-3)}_{>0}
Einfache Nullstelle bei x=3x=3, also ist der Graph im Intervall ]0,3[]0,3[ im negativen Bereich.
Einfache Nullstelle bei x=0x=0, also ist der Graph im Intervall ]−3,0[]-3,0[ im positiven Bereich.
Einfache Nullstelle bei x=3x=3, also ist der Graph im Intervall ]−∞,−3[]-\infty,-3[ im negativen Bereich.
Lösung: Der Graph verläuft in den Intervallen ]−3,0[]-3,0[ und ]3,+∞[]3,+\infty[ oberhalb der xx-Achse
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g(x)=0.5⋅(x2−8x+16)⋅(x+1)g(x)=0.5\cdot(x^2-8x+16)\cdot(x+1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Gegeben: f(x)=0,5⋅(x2−8x+16)⋅(x+1)f(x) = 0{,}5\cdot (x^2 - 8x + 16) \cdot (x+1)
Gesucht: Intervalle mit f(x)>0f(x) > 0
Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel (a2−2ab+b2)=(a−b)2(a^2 - 2ab + b^2) = (a-b)^2.
f(x)=0,5⋅(x−4)2⋅(x+1)f(x) = 0{,}5 \cdot(x-4)^2 \cdot(x+1)
Die Nullstelle bei x1=4x_1 = 4 ist eine doppelte Nullstelle, die bei x2=−1x_2=-1 ist eine einfache.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich ]4,+∞[]4, +\infty[.
Für xx im Intervall ]4,+∞[]4,+\infty[ ist f(x)>0f(x) > 0, denn:
f(x)=0,5⏟>0⋅(x−4)2⏟>0⋅(x+1)⏟>0f(x)=\underbrace{0,5}_{>0} \cdot \underbrace{(x-4)^2}_{>0} \cdot \underbrace{(x+1)}_{>0}
Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.
Weil bei 44 eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich da das Vorzeichen nicht.
Doppelte Nullstelle bei x=4x=4, also ist der Graph im Intervall ]−1,4[]-1,4[ ebenfalls im positiven Bereich.
Weil bei −1-1 eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei x=−1x=-1, also ist der Graph im Intervall ]−∞,−1[]-\infty,-1[ im negativen Bereich.
Lösung: Der Graph ist in den Intervallen ]−1,4[]-1,4[ und ]4,+∞[]4,+\infty[ oberhalb der xx-Achse.
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h(x)=0.1⋅(x+2.5)⋅(x2−x+14)⋅(x−4)h(x)= 0.1 \cdot (x+2.5)\cdot (x^2-x+\frac14) \cdot (x-4)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Gegeben: f(x)=0,1⋅(x+2,5)⋅(x2−x+14)⋅(x−4)f(x) = 0,1 \cdot (x+2,5) \cdot(x^2 - x + \frac{1}{4}) \cdot (x-4)
Geuscht: Intervalle mit f(x)>0f(x) > 0
Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel (a2−2ab+b2)=(a−b)2(a^2 - 2ab + b^2) = (a-b)^2
Dabei ist a=xa=x und b=12b = \frac{1}{2}
f(x)=0,1⋅(x+2,5)⋅(x−12)2⋅(x−4)f(x) = 0,1 \cdot( x+2,5) \cdot (x-\frac{1}{2})^2 \cdot (x-4)
Die Nullstelle bei x1=−2,5x_1 = -2,5 ist eine einfache, die bei x2=12x_2 = \frac{1}{2} eine doppelte und die bei x3=4x_3=4 wieder eine einfache Nullstelle.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich ]4,+∞[]4,+\infty[
Für xx im Intervall ]4,+∞[]4, + \infty[ ist f(x)f(x) positiv, denn:
f(x)=0,1⏟>0⋅(x+2,5)⏟>0⋅(x−12)2⏟>0⋅(x−4)⏟>0f(x)=\underbrace{0,1}_{>0} \cdot \underbrace{(x+2,5)}_{>0}\cdot \underbrace{(x−12)^2}_{>0} \cdot \underbrace{(x−4)}_{>0}
Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.
Weil bei 44 eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei x=4x = 4, also ist der Graph im Intervall ]12,4[]\frac{1}{2}, 4[ im negativen Bereich.
Weil bei 12\frac{1}{2} eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen nicht.
Doppelte Nullstelle bei x=12x = \frac{1}{2}, also ist der Graph im Intervall ]−2,5  ,12[]-2,5 \;, \frac{1}{2}[ ebenfalls im negativen Bereich.
Weil bei −2,5-2,5 eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei x=−2,5x = -2,5, also ist der Graph im Intervall ]−∞,−2,5[]-\infty, -2,5[ im positiven Bereich.
Lösung: Der Graph ist in den Intervallen ]−∞,−2,5[]-\infty, -2,5[ und ]4,+∞[]4,+\infty[ im positiven Bereich.
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Skizziere mit Hilfe den gegebenen Informationen jeweils einen möglichen Verlaufdes Graphen der folgenden Funktionen.
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Die Polynomfunktion ff vom Grad 33 besitzt Nullstellen bei x1=−3x_1=-3, x2=2x_2=2 und x3=4x_3=4 und schneidet die yy-Achse im Punkt (0∣2)(0|2).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Gegeben:
Polynomfunktion vom Grad 33
Nullstellen bei x1=−3,x2=2,x3=4x_1 = -3, x_2 = 2, x_3 = 4 und Punkt (0,2)(0,2)
Gesucht: Skizze von Graph
Zeichne zuerst die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem. Die Nullstellen liegen auf der xx-Achse.
Koordinatensystem mit gegebenen Punkten
Da die Funktion vom Grad 33 ist, kann es keine weiteren Nullstellen geben und die drei Nullstellen sind einfache Nullstellen.
Der Verlauf geht also von (−3,0)(-3,0) zu (0,2)(0,2) und dann zu (2,0)(2,0). Wichtig ist, dass er NICHT nochmal die xx-Achse schneidet. Wo der Hochpunkt zwischen −3-3 und 22 genau ist, ist egal.
Verlauf Graph Teil 1
Zeichne als Nächstes den Graph zwischen 22 und 44 weiter. Dort verläuft er im negativen Bereich. Auch hier ist egal, wo der Tiefpunkt zwischen 22 und 44 genau ist.
Verlauf Graph Teil 2
Zeichne jetzt den ganzen Graphen. Auch (−3,0)(-3,0) und (4,0)(4,0) sind einfache Nullstellen, also schneidet der Graph die x-Achse.
Lösung:
Lösung Funktion gesamt
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Die Polynomfunktion gg vom Grad 44 hat genau eine doppelte Nullstelle und ihr Graph ist symmetrisch zur yy-Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Gegeben: Polynomfunktion vom Grad 44, genau eine doppelten Nullstelle, und der Graph symmetrisch zur yy-Achse
Gesucht: Skizze eines möglichen Graphen
Überlege zunächst, wo die doppelte Nullstelle hinkommt. Da der Graph symmetrisch zur yy-Achse ist, muss sie bei (0,0)(0,0) sein, denn wenn sie z.B. bei (2,0)(2,0) wäre, müsste durch die Symmetrie bei (−2,0)(-2,0) auch eine sein. Ob der Graph die xx-Achse von unten oder von oben berührt, ist beides richtig.
Doppelte Nullstelle im Koordinatensystem
Zeichne jetzt den weiteren Verlauf.
Beachte dabei: Die Funktion ist vom Grad 44, also hat sie höchstens zwei weitere Nullstellen. Außerdem auch nur maximal 33 Extremstellen.

Eine mögliche Lösung:

Lösung Graph
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Die Polynomfunktion hh vom Grad 66 besitzt zwei mehrfache Nullstellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Gegeben: Polynomfunktion vom Grad 66, zwei mehrfache Nullstellen
Gesucht: Skizze von möglichem Graphen
Bei dieser Aufgabe gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, hier wird eine 33-fache Nullstelle bei x=−1x=-1 und eine doppelte Nullstelle bei x=2x=2 verwendet.
Du kannst aber beispielsweise auch zwei 33-fache Nullstellen einzeichnen, oder zwei doppelte, oder eine doppelte und eine 44-fache.
Skizziere als erstes den Verlauf der Funktion an einer Nullstelle.
Verlauf Graph an dreifacher Nullstelle
Überlege dann den Verlauf zur zweiten Nullstelle und wie er dort weiterläuft.
Verlauf Graph an dreifacher und doppelter Nullstelle
Ergänze jetzt den Graphen noch so, dass er zu einer Funktion vom Grad 6 passt. Dabei ist wichtig, dass der Graph entweder auf beiden Seiten nach +∞+\infty oder auf beiden Seiten nach −∞- \infty läuft.
Achte darauf, dass die Vielfachheiten der Nullstellen insgesamt höchstens 6 ergeben. Hier ist es eine 3-fache, eine doppelte und noch eine einfache Nullstelle.

Eine mögliche Lösung

Graph komplett
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Ordne die Graphen jeweils der richtigen Funktion zu. Begründe.
f(x)=0.1⋅(x+2)2⋅(x−4)3f(x) = 0.1 \cdot (x + 2)^2\cdot(x - 4)^3
g(x)=−0.1⋅(x+2)2⋅(x−4) g(x) = -0.1\cdot (x + 2)^2 \cdot (x - 4)
h(x)=−0.01⋅(x+2)3⋅(x−4)2⋅(x−2) h(x) = -0.01 \cdot (x + 2)^3 \cdot (x - 4)^2 \cdot (x - 2)
j(x)=0.05⋅(x+2)⋅(x−4)⋅(x2+1) j(x) = 0.05 \cdot (x + 2) \cdot (x - 4) \cdot (x^2 + 1)
k(x)=−0.01⋅(x+2)4⋅(x−4)2⋅(x−2) k(x) = -0.01 \cdot (x + 2)^4 \cdot (x - 4)^2 \cdot (x - 2)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit von Nullstellen

Roter Graph

Lies als erstes die Nullstellen der Funktion ab.
Die Nullstellen des roten Graphen sind bei x1=−2x_1 = -2 und x2=4x_2 = 4.
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.
Die Nullstelle bei x1=−2x_1=-2 ist eine doppelte Nullstelle, weil sich das Vorzeichen nicht ändert. Die bei x2=4x_2 = 4 ist eine einfache, da sich das Vorzeichen ändert.
Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da bei −2-2 eine doppelte und bei 44 eine einfache Nullstelle ist, muss in der Funktion (x+2)2⋅(x−4)(x+2)^2\cdot(x-4) vorkommen. Das ist nur bei der Funktion gg der Fall.
Lösung: Der rote Graph gehört zu der Funktion gg.

Grüner Graph

Lies als erstes die Nullstellen der Funktion ab.
Die Nullstellen des grünen Graphen sind bei x1=−2x_1 = -2, x2=2x_2 = 2 und x3=4x_3 = 4.
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.
Die Nullstelle bei x1=−2x_1=-2 ist eine dreifache Nullstelle, weil sich das Vorzeichen ändert und der Graph an der Stelle flach ist. Die bei x2=2x_2 =2 ist eine einfache, da sich das Vorzeichen ändert. Bei x3=4x_3 = 4 ist es eine doppelte Nullstelle, weil sich das Vorzeichen nicht ändert.
Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da bei −2-2 eine dreifache, bei 22 eine einfache und bei 44 eine doppelte Nullstelle ist, muss in der Funktion (x+2)3⋅(x−2)⋅(x−4)2(x+2)^3\cdot(x-2)\cdot(x-4)^2 vorkommen. Das ist nur bei der Funktion hh der Fall.
Lösung: Der grüne Graph gehört zu der Funktion hh.

Lila Graph

Lies als erstes die Nullstellen der Funktion ab.
Die Nullstellen des roten Graphen sind bei x1=−2x_1 = -2 und x2=4x_2 = 4.
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.
Die Nullstellen sind beides einfache Nullstellen, weil sich jedesmal das Vorzeichen ändert.
Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da sowohl bei 22 als auch bei 44 eine einfache Nullstelle ist, muss in der Funktion (x+2)⋅(x−4)(x+2)\cdot(x-4) vorkommen. Das ist nur bei der Funktion jj der Fall.
Lösung: Der lila Graph gehört zu der Funktion jj.
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