Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab
%%f(x)= 2x-8%%
Nullstelle
Hier wird die Nullstelle erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion %%f%% die x-Achse genau im Punkt (4|0) schneidet.
%%\Rightarrow%% Nullstelle bei %%x=4%%.
Graphische Veranschaulichung:
Lösung durch Berechnung:
%%\begin{array}{l}f(x)=2x-8\\\end{array}%%
Setze %%f(x)=0%%
%%\begin{array}{l}2x-8=0\\\end{array}%%
|%%+8%%
%%2x=8%%
|%%:2%%
%%x=4%%
Die Nullstelle der Funktion liegt bei %%x=4%%.
%%g(x)=-x^2-7x-10%%
Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in den Punkten (-5|0) und (-2|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei %%x=-5%% und %%x=-2%%
Graphische Veranschaulichung:
Lösung durch Berechnung:
%%g(x)=-x^2-7x-10%%
Setze %%g(x)=0%%
%%-x^2-7x-10=0%%
Wende die Mitternachtsformel an.
%%x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4(-1)(-10)}}{2(-1)}%%
Multipliziere die Klammern aus.
%%x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49-40}}{-2}%%
Berechne die Wurzel
%%x_{1,2}=\frac{7\pm3}{-2}%%
%%x_1=\frac{10}{-2}=-5%%
- Fall %%+%%
%%x_2=\frac{7-3}{-2}=-2%%
- Fall: %%-%%
Die beiden Nullstellen der Funktion liegen bei %%x_1=-5%% und %%x_2=-2%%.
%%h(x)=\frac{1}{10}(x + 6) (x - 2) (x - 4)%%
Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion %%f%% die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei %%x=−6%% und %%x=2%% und %%x=4%%.
Graphische Veranschaulichunng
Lösung durch Berechnung:
%%h(x)=\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)%%
Zur Berechnung der Nullstellen setze %%h(x)=0%%.
%%\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0%%
Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann %%0%%, wenn mindestens ein Faktor %%0%% ist.
Für %%x=-6%%, %%x=2%% und %%x=4%% gilt:
%%\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0%%
Die Nullstellen der Funktion liegen bei %%x=-6%%, %%x=2%% und %%x=4%%.
%%f(x)=3x^2+6x+3%%
Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.
⇒ Nullstellen bei x=−1.
Graphische Veranschaulichung
Lösung durch Berechnung:
%%f(x)=3x^2+6x+3%%
Zur Berechnung der Nullstellen setze f(x)=0.
%%3x^2+6x+3=0%%
kürze durch 3
%%x^2+2x+1=0%%
|-1
%%x^2+2x=-1%%
Ermittle die Lösung durch raten.
%%x=-1%%