Aufgaben zur Nullstelle

Nullstelle

Hier wird die Nullstelle erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion %%f%% die x-Achse genau im Punkt (4|0) schneidet.

%%\Rightarrow%% Nullstelle bei %%x=4%%.

Graphische Veranschaulichung:

Lösung durch Berechnung:

%%\begin{array}{l}f(x)=2x-8\\\end{array}%%

Setze %%f(x)=0%%

%%\begin{array}{l}2x-8=0\\\end{array}%%

|%%+8%%

%%2x=8%%

|%%:2%%

%%x=4%%

Die Nullstelle der Funktion liegt bei %%x=4%%.

Nullstelle

Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in den Punkten (-5|0) und (-2|0) schneidet.

⇒ Nullstellen bei %%x=-5%% und %%x=-2%%

Graphische Veranschaulichung:

Lösung durch Berechnung:

%%g(x)=-x^2-7x-10%%

Setze %%g(x)=0%%

%%-x^2-7x-10=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4(-1)(-10)}}{2(-1)}%%

Multipliziere die Klammern aus.

%%x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49-40}}{-2}%%

Berechne die Wurzel

%%x_{1,2}=\frac{7\pm3}{-2}%%

%%x_1=\frac{10}{-2}=-5%%

1. Fall %%+%%

%%x_2=\frac{7-3}{-2}=-2%%

1. Fall: %%-%%

Die beiden Nullstellen der Funktion liegen bei %%x_1=-5%% und %%x_2=-2%%.

Nullstelle

Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion %%f%% die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.

⇒ Nullstellen bei %%x=−6%% und %%x=2%% und %%x=4%%.

Graphische Veranschaulichunng

Lösung durch Berechnung:

%%h(x)=\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)%%

Zur Berechnung der Nullstellen setze %%h(x)=0%%.

%%\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0%%

Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann %%0%%, wenn mindestens ein Faktor %%0%% ist.

Für %%x=-6%%, %%x=2%% und %%x=4%% gilt:

%%\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0%%

Die Nullstellen der Funktion liegen bei %%x=-6%%, %%x=2%% und %%x=4%%.

Nullstelle

Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.

Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.

⇒ Nullstelle bei x=−1.

Graphische Veranschaulichung

Lösung durch Berechnung:

%%f(x)=3x^2+6x+3%%

Zur Berechnung der Nullstellen setze f(x)=0.

%%3x^2+6x+3=0%%

kürze durch 3

%%x^2+2x+1=0%%

|-1

%%x^2+2x=-1%%

Ermittle die Lösung durch raten.

%%x=-1%%

Vielfachheit von Nullstellen

Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.

%%f(x) = x^7%%

Zerlege %%f(x)%% in Linearfaktoren

%%f(x) = (x \pm 0)^7%%

Lies die Vielfachheit der Nullstelle am Exponenten ab.

Die Funktion %%f(x)=x^7%% hat bei %%x=0%% eine Nullstelle der Vielfachheit 7.

Vielfachheit von Nullstellen

Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.

%%f(x)=6x%%

Zerlege %%f(x)%% in Linearfaktoren

%%f(x)=6\cdot(x\pm0)^{1}%%

Lies die Vielfachheit der Nullstelle am Exponenten ab.

Die Funktion %%f(x)=6x%% hat bei %%x=0%% eine einfache Nullstelle.

Vielfachheit von Nullstellen

Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.

%%f(x) = (x-5)^2%%

%%f(x)%% ist bereits in der Linearfaktordarstellung. Deshalb kannst du die Vielfachheit der Nullstelle direkt am Exponenten ablesen.

Die Funktion %%f(x) = (x-5)^\color{red}2%% hat bei %%x=5%% eine doppelte Nullstelle.

Vielfachheit von Nullstellen

Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.

%%f(x) = x^2-9%%

Zerlege %%f(x)%% in Linearfaktoren.

Verwende die 3. binomischen Formel.

%%f(x) = (x-3)\cdot(x+3)%%

%%f(x) = (x-3)^\color{red}1\cdot(x+3)^\color{red}1%%

Lies aus der Linearfaktordarstellung die Vielfachheiten der Nullstellen an den Exponenten ab.

Die Funktion %%f(x) = x^2-9%% hat bei %%x=-3%% und %%x=3%% jeweils eine einfache Nullstelle.

Vielfachheit von Nullstellen

Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.

%%f(x) = (x+8) \cdot (x-2)^2%%

%%f(x)%% ist schon in Linearfaktordarstellung. Du kannst also die Vielfachheiten der Nullstellen direkt an den Exponenten ablesen.

Die Funktion %%f(x) = (x+8)^\color{red}1 \cdot (x-2)^\color{red}2%% hat bei %%x=-8%% eine einfache und bei %%x=2%% eine doppelte Nullstelle.

Verlauf des Graphen anhand von Nullstellen

Gegeben: %%f(x) = x \cdot (x^2 - 9)%%

Gesucht: Intervalle für die %%f(x) > 0%%

Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 3. binomischen Formel %%(a^2-b^2) = (a+b)\cdot(a-b)%%

%%f(x) = x\cdot(x^2-9) = x\cdot(x+3)\cdot(x-3)%%

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen

Die drei Nullstellen bei %%x_1=0,\; x_2=-3,\; x_3 = 3%% sind einfache Nullstellen.

Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich %%]3, +\infty[%%

Für %%x%% im Intervall %%]3,+\infty[%% ist %%f(x)%% positiv, denn: $$f(x) = \underbrace{x}_{>0}\cdot \underbrace{(x+3)}_{>0} \cdot \underbrace{(x-3)}_{>0}$$

Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.

Weil es alles einfache Nullstellen sind, wechselt jedesmal bei den Nullstellen das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei %%x=3%%, also ist der Graph im Intervall %%]0,3[%% im negativen Bereich.

Einfache Nullstelle bei %%x=0%%, also ist der Graph im Intervall %%]-3,0[%% im positiven Bereich.

Einfache Nullstelle bei %%x=3%%, also ist der Graph im Intervall %%]-\infty,-3[%% im negativen Bereich.

Schreibe jetzt noch die Lösung auf.

Lösung: Der Graph verläuft in den Intervallen %%]-3,0[%% und %%]3,+\infty[%% oberhalb der %%x%%-Achse

Verlauf von Graph anhand von Nullstellen

Gegeben: %%f(x) = 0,5\cdot (x^2 - 8x + 16) \cdot (x+1)%%

Gesucht: Intervalle mit %%f(x) > 0%%

Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel %%(a^2 - 2ab + b^2) = (a-b)^2%%

%%f(x) = 0,5 \cdot(x-4)^2 \cdot(x+1)%%

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.

Die Nullstelle bei %%x_1 = 4%% ist eine doppelte Nullstelle, die bei %%x_2=-1%% ist eine einfache.

Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich %%]4, +\infty[%%

Für %%x%% im Intervall %%]4,+\infty[%% ist %%f(x) > 0%%, denn: $$f(x) = \underbrace{0,5}_{>0} \cdot \underbrace{(x-4)^2}_{>0} \cdot \underbrace{x+1}_{>0}$$

Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.

Weil bei %%4%% eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich da das Vorzeichen nicht.

Doppelte Nullstelle bei %%x=4%%, also ist der Graph im Intervall %%]-1,4[%% ebenfalls im positiven Bereich

Weil bei %%-1%% eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei %%x=-1%%, also ist der Graph im Intervall %%]-\infty,-1[%% im negativen Bereich.

Schreibe jetzt noch die Lösung auf.

Lösung: Der Graph ist in den Intervallen %%]-1,4[%% und %%]4,+\infty[%% oberhalb der %%x%%-Achse.

Verlauf des Graphen anhand von Nullstellen

Gegeben: %%f(x) = 0,1 \cdot (x+2,5) \cdot(x^2 - x + \frac{1}{4}) \cdot (x-4)%%

Geuscht: Intervalle mit %%f(x) > 0%%

Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel %%(a^2 - 2ab + b^2) = (a-b)^2%%

Dabei ist %%a=x%% und %%b = \frac{1}{2}%%

%%f(x) = 0,1 \cdot( x+2,5) \cdot (x-\frac{1}{2})^2 \cdot (x-4)%%

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen

Die Nullstelle bei %%x_1 = -2,5%% ist eine einfache, die bei %%x_2 = \frac{1}{2}%% eine doppelte und die bei %%x_3=4%% wieder eine einfache Nullstelle.

Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich %%]4,+\infty[%%

Für %%x%% im Intervall %%]4, + \infty[%% ist %%f(x)%% positiv, denn: $$f(x) = \underbrace{0,1}_{>0} \cdot\underbrace{( x+2,5)}_{>0} \cdot \underbrace{(x-\frac{1}{2})^2}_{>0} \cdot \underbrace{(x-4)}_{>0}$$

Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.

Weil bei %%4%% eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei %%x = 4%%, also ist der Graph im Intervall %%]\frac{1}{2}, 4[%% im negativen Bereich.

Weil bei %%\frac{1}{2}%% eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen nicht.

Doppelte Nullstelle bei %%x = \frac{1}{2}%%, also ist der Graph im Intervall %%]-2,5 \;, \frac{1}{2}[%% ebenfalls im negativen Bereich.

Weil bei %%-2,5%% eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei %%x = -2,5%%, also ist der Graph im Intervall %%]-\infty, -2,5[%% im positiven Bereich.

Schreibe jetzt noch die Lösung auf.

Lösung: Der Graph ist in den Intervallen %%]-\infty, -2,5[%% und %%]4,+\infty[%% im positiven Bereich.

Graphen mithilfe von Nullstellen skizzieren

Gegeben:

Polynomfunktion vom Grad %%3%%

Nullstellen bei %%x_1 = -3 \\x_2 = 2 \\x_3 = 4%%

und Punkt %%(0,2)%%

Gesucht: Skizze von Graph

Zeichne zuerst die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem. Die Nullstellen liegen auf der %%x%%-Achse.

Da die Funktion vom Grad %%3%% ist, kann es keine weiteren Nullstellen geben und die drei Nullstellen sind einfache Nullstellen.

Der Verlauf geht also von %%(-3,0)%% zu %%(0,2)%% und dann zu %%(2,0)%%. Wichtig ist, dass er NICHT nochmal die %%x%%-Achse schneidet. Wo der Hochpunkt zwischen %%-3%% und %%2%% genau ist, ist egal.

Zeichne als Nächstes den Graph zwischen %%2%% und %%4%% weiter. Dort verläuft er im negativen Bereich. Auch hier ist egal, wo der Tiefpunkt zwischen %%2%% und %%4%% genau ist.

Zeichne jetzt den ganzen Graphen. Auch %%(-3,0)%% und %%(4,0)%% sind einfache Nullstellen, also schneidet der Graph die x-Achse.

Lösung:

Graph mithilfe von Nullstellen skizzieren

Gegeben: Polynomfunktion vom Grad %%4%%,

genau eine doppelten Nullstelle,

und der Graph symmetrisch zur %%y%%-Achse

Gesucht: Skizze eines möglichen Graphen

Überlege zunächst, wo die doppelte Nullstelle hinkommt. Da der Graph symmetrisch zur %%y%%-Achse ist, muss sie bei %%(0,0)%% sein, denn wenn sie z.B. bei %%(2,0)%% wäre, müsste durch die Symmetrie bei %%(-2,0)%% auch eine sein. Ob der Graph die %%x%%-Achse von unten oder von oben berührt, ist beides richtig.

Zeichne jetzt den weiteren Verlauf.

Beachte dabei: Die Funktion ist vom Grad %%4%%, also hat sie höchstens zwei weitere Nullstellen. Außerdem auch nur maximal %%3%% Extremstellen.

Eine mögliche Lösung:

Graphen mithilfe von Nullstellen skizzieren

Gegeben: Polynomfunktion vom Grad %%6%%,

zwei mehrfache Nullstellen

Gesucht: Skizze von möglichem Graphen

Bei dieser Aufgabe gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, hier wird eine %%3%%-fache Nullstelle bei %%x=-1%% und eine doppelte Nullstelle bei %%x=2%% verwendet.

Du kannst aber beispielsweise auch zwei %%3%%-fache Nullstellen einzeichnen, oder zwei doppelte, oder eine doppelte und eine %%4%%-fache.

Skizziere als erstes den Verlauf der Funktion an einer Nullstelle.

Überlege dann den Verlauf zur zweiten Nullstelle und wie er dort weiterläuft.

Ergänze jetzt den Graphen noch so, dass er zu einer Funktion vom Grad 6 passt. Dabei ist wichtig, dass der Graph entweder auf beiden Seiten nach %%+\infty%% oder auf beiden Seiten nach %%- \infty%% läuft.

Achte darauf, dass die Vielfachheiten der Nullstellen insgesamt höchstens 6 ergeben. Hier ist es eine 3-fache, eine doppelte und noch eine einfache Nullstelle.

Eine mögliche Lösung