Mit Hilfe der sogenannten "Mitternachtsformel" (auch "Lösungsformel", abc-Formel oder "Quadratische Lösungsformel" genannt) lassen sich quadratische Gleichungen lösen und so Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen. Quadratische Gleichungen lassen sich auch mit Hilfe der pq-Formel, einer Alternative zur Mitternachtsformel, lösen.

Die Mitternachtsformel

Die Lösungen einer quadratische Gleichung ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 lauten:

x1,2=b±b24ac2a\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Die Formel wird in Teilen Deutschlands umgangssprachlich als „Mitternachtsformel“ bezeichnet, weil Schüler sie auswendig kennen sollen, selbst wenn man sie um Mitternacht weckt. Quelle: Wikipedia

Anzahl der möglichen Lösungen

Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung von der Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 ist abhängig von der Diskriminante D=b24acD=b^2-4ac. Die Diskriminante ist genau der Term, der in der Mitternachtsformel unter der Wurzel steht. Eine quadratische Gleichung hat:
  • zwei Lösungen, falls D>0D>0
  • genau eine Lösung, falls D=0D=0
  • gar keine Lösung, falls D<0D<0.

Lösen einer quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel

Um eine quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel zu lösen, muss man aus der Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 die Koeffizienten aa, bb und cc entnehmen und dann in die Mitternachtsformel einsetzen.

Vorgehen am Beispiel

Gleichung
Koeffizienten ablesen
In Formel einsetzen
2x2+3x5=02x^2+3x-5=0
a=2a=2, b=3b=3, c=5c=-5
x1,2=3±3242(5)22=3±494\displaystyle x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot (-5)}}{2\cdot 2}=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{4}
x1=3+74=44=1\displaystyle \Rightarrow x_1=\frac{-3+7}4=\frac44=1 x2=374=104=52\displaystyle \Rightarrow x_2=\frac{-3-7}4=\frac{-10}4=-\frac52
x22x+1=0x^2-2x+1=0
a=1a=1, b=2b=-2, c=1c=1
x1,2=(2)±(2)241121=2±02\displaystyle x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm\sqrt{0}}{2}
=22=1\displaystyle=\frac22=1
Die Diskriminante ist 00, deshalb gibt es nur eine Lösung.
Man kann hier auch eine binomische Formel anwenden! x22x+1=(x1)2=0x^2-2x+1=(x-1)^2=0 x=1\Rightarrow x=1
3x2+4x+5=03x^2+4x+5=0
a=3a=3, b=4b=4, c=5c=5
x1,2=4±4243523=4±446\displaystyle x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 3\cdot 5}}{2\cdot 3}=\frac{-4\pm\sqrt{-44}}{6} Da unter der Wurzel eine negative Zahl steht - die Diskriminante ist kleiner als 00 - hat die Gleichung keine Lösung in den reellen Zahlen.

Koeffizienten finden in komplizierteren Fällen

Oft ist die quadratische Gleichung nicht bereits in der Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 gegeben. Um auf diese Form zu gelangen geht man typischerweise folgendermaßen vor:

Allgemeines Vorgehen

Vorgehen am Beispiel

5x+3x27=2x2+3x5 x+3x^2-7=2x^2+3x
1. Gleichung umformen: Die quadratische Gleichung muss zunächst so umgeformt werden, dass auf einer der beiden Seiten 0 steht.
%%\begin{array}{lcll}5 x+3x^2-7&=&2x^2+3x&\left|-(2x^2+3x)\right.\\5 x+3x^2-7-2x^2-3x&=&0\end{array}%%
2. Gleichartige Terme zusammenfassen: Alle quadratischen Terme (Summanden mit x2x^2), alle linearen Terme (alle Summanden mit xx) und alle konstanten Terme (reelle Zahlen) zusammenfassen.
%%\begin{array}{lcll}3x^2-2x^2+5x-3x-7&=&0\\x^2+2x-7&=&0\end{array}%%
3. Koeffizienten ablesen:
  • a ist der Faktor vor x2\boldsymbol x^\mathbf2
  • b ist der Faktor vor x\boldsymbol x
  • die restliche Summanden, die kein x enthalten, werden zu c zusammengefasst.
a=1a=1, b=2b=2, c=7c=-7
4. In Mitternachtsformel einsetzen: Nun muss man die Werte (wie oben schon gezeigt) noch in die Mitternachtsformel einsetzen.
x1,2=2±224(7)21=1±22\displaystyle x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot(-7)}}{2\cdot1}=-1\pm2\cdot\sqrt2
x1,2=2±224(7)21=2±322=2±1622=2±422=2(1±22)2=1±22\displaystyle x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot(-7)}}{2\cdot1}=\frac{-2\pm\sqrt{32}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{16\cdot2}}{2}=\frac{-2\pm4\cdot\sqrt{2}}{2}=\frac{2\cdot\left(-1\pm2\cdot\sqrt2\right)}{2}=-1\pm2\cdot\sqrt2
Die Koeffizienten müssen nicht immer Zahlen sein, sie können auch Parameter enthalten. Mehr dazu findest du im Artikel Parameter in quadratischen Gleichungen .

Herleitung der Mitternachtsformel

Um die Mitternachtsformel herzuleiten, löst man die allgemeine quadratische Gleichung
ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0
mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.
Zuerst bringen wir cc auf die rechte Seite, indem wir cc subtrahieren.
ax2+bx=c\displaystyle ax^2+bx=-c
Dann dividieren wir die Gleichung durch aa
x2+bax=ca\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}
Jetzt folgt die quadratische Ergänzung: Wir addieren auf beiden Seiten (b2a)2(\frac{b}{2a})^2:
x+2b2a+(b2a)2=ca+(b2a)2\displaystyle x+2\cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac ca + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
und wenden die 1. binomische Formel an, um die linke Seite als Quadrat zu schreiben:
(x+b2a)2=ca+(b2a)2\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac ca + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
Jetzt können wir nach xx auflösen, indem wir zuerst die Wurzel ziehen
x+b2a=±ca+(b2a)2\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{-\frac ca + \left(\frac{b}{2a}\right)^2}
und dann b2a\frac{b}{2a} auf die andere Seite bringen
x=b2a±ca+(b2a)2\displaystyle x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{-\frac ca + \left(\frac{b}{2a}\right)^2}
Im Prinzip sind wir fertig, wir haben eine Lösungsformel. Allerdings sieht die noch nicht ganz so aus wie gewünscht. Dazu formen wir den Term in der Wurzel um
ca+(b2a)2=ca+b24a2=4ac4a2+b24a2=b24ac4a2\displaystyle -\frac ca + \left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac ca +\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
und erhalten für die rechte Seite insgesamt
b2a±ca+(b2a)2=b2a±b24ac4a2\displaystyle -\frac{b}{2a}\pm\sqrt{-\frac ca + \left(\frac{b}{2a}\right)^2} = -\frac{b}{2a} \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

=b2a±b24ac2a=b±b24ac2a\displaystyle =-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Damit haben wir die Mitternachtsformel
x=b±b24ac2a\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
hergeleitet.


Die pq-Formel

Die pq-Formel wird in Teilen Deutschlands alternativ zur Mitternachtsformel benutzt. Auch sie dient der Lösung einer quadratischen Gleichung und ist etwas einfacher zu merken. Eine Voraussetzung ist jedoch, dass der Vorfaktor des quadratischen Summanden a=1a=1 sein muss. Dazu sind eventuell Umformungen nötig.
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Digamma 2020-03-26 15:25:42+0100
Gab es hier nicht mal eine Herleitung, oder täusche ich mich?
Renate 2020-03-28 07:14:15+0100
Hallo Digamma,

beim stichprobenartigen Blick in den Bearbeitungsverlauf fand ich hier zwar keine Herleitung,
aber inzwischen habe ich die folgende Kursseite entdeckt:
https://de.serlo.org/19148
(sie stammt aus dem Kurs "Einführung zur quadratischen Ergänzung").

Ist das das, wonach du gesucht hast?

Viele Grüße
Renate
Digamma 2020-03-28 12:05:42+0100
Hallo Renate, dann hatte ich mich wahrscheinlich getäuscht. Vielleicht auch deshalb, weil bei der pq-Formel eine Herleitung steht. Ja, so eine Herleitung ist das, was ich gesucht hatte. Allerdings ist mir die zu kompliziert. Quadratische Ergänzung wird meiner Meinung nach immer einfacher, wenn man Gleichungsumformungen zulässt. Mal sehen, vielleicht erarbeite ich selbst eine und stelle sie im Artikel ein. Falls ich mit dem Editor zurecht komme.
Digamma 2020-03-28 22:42:11+0100
Ich habe mal einen Entwurf gemacht und eingefügt.
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Zu article Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel): Koeffizienten falsch oder vertauscht
DeeDee 2015-06-02 09:26:46+0200
Das dritte Beispiel unter "Lösen einer quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel" ist falsch, da wurde der Koeffizient a gleich zweimal falsch angegeben.
Renate 2015-06-02 09:58:56+0200
Hallo DeeDee, den im Spoiler versteckten Fehler hat anscheinend niemand bemerkt - oder zumindest niemand gemeldet ;)
Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit!

Hast du Lust, gleich selbst die Korrektur vorzunehmen? Dazu musst du oben auf den Button mit dem Stift klicken; dann öffnet sich das Editorfenster, du kannst die Zahlen ändern und speicherst danach deine Version ab.

Bevor sie online gestellt wird , wird sie noch von uns geprüft - also keine Angst, du kannst nichts kaputt machen!

Gruß
Renate (Serlo-Teammitglied Mathematik-Redaktion)
Renate 2015-06-11 20:49:51+0200
So, nun habe ich endlich Zeit gefunden, die Korrektur vorzunehmen - ich hoffe, es stimmt nun so. ;)

Vielen Dank nochmals für deinen Hinweis!
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arekkas 2014-06-26 10:47:35+0200
Die PQ Formel findet wohl am häufigsten Anwendung zur Lösung quadratischer Gleichungen. Wäre es möglich, der PQ Formel einen eigenen Artikel zu widmen?
Nish 2014-12-05 15:46:25+0100
Der Artikel "Die PQ Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen" ist jetzt auf Serlo zu finden.
Dankeschön dafür, dass du ihn auch gleich selber geschrieben hast. Damit werde ich nun die Diskussion archivieren.
Zu article Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel): Mitternachtsformel aufspalten
Hannes 2014-08-22 10:02:51+0200
Wäre es nicht besser den Artikel aufzuspalten und zwar folgendermaßen:
Einmal Artikel "Mitternachtformel" wo nur die verschiedenen Formen und Namen genannt werden.
Und einmal "Anwenden der Mitternachtsformen" wo dann auf die konkrete Anwendung der Mitternachtsformel eingegangen wird!
arekkas 2014-08-22 12:45:35+0200
Ist es nicht besser, wenn man alles an einem Ort hat als verteilt über mehrere Artikel? Wikipedia macht es auch so!
Renate 2014-08-23 07:30:09+0200
Ich würde den Artikel auch nicht aufspalten in "Mitternachtsformel" und "Anwenden der Mitternachtsformel", da ich meine, dass sich das beides eigentlich nicht recht trennen lässt, und dann die Gefahr besteht, dass schon in "Mitternachtsformel" vieles hineingeschrieben wird, was in "Anwenden der Mitternachtsformel" gehört bzw. dort nochmal steht.
ABER:
Im gegenwärtigen Zustand ist der Artikel "Mitternachtsformel" in der Tat auch meiner Meinung nach unnötig lang und unübersichtlich, und zwar aus dem Grund, da er zu vieles mehrfach schreibt o.ä.
- Der Teil "Was ist eine quadratische Gleichung" sollte herausgenommen und mittels Verlinkung auf den entsprechenden Artikel gelöst werden.
- "Anzahl der möglichen Lösungen", "Bedeutung der Diskriminante" und vielleicht auch "Übersicht der möglichen Lösungsfälle" sollte zu einer (optimalen) Formulierung zusammen werden.
Hannes 2014-08-24 10:53:45+0200
Ok, ich dachte man sollte die Artikel so trennen, dass zum einen die Theorie erklärt wird und zum anderen die Anwendung in der Praxis erklärt wird. So wie bei "Asymptote" und "Asymptote berechnen". Ich stimme Renate aber zu, dass die Trennung bei Mitternachtsformel schwierig ist. Die Idee zur Trennung kam mir auch durch die Unübersichtlichkeit des Artikels.

Aber mit Renates Vorschlag kann ich sehr sehr gut leben.
Wer will sich darum kümmer?
arekkas 2014-08-24 11:11:27+0200
Als Lernender finde ich es besser, wenn die Inhalte (kurz) angeschnitten werden (z.B. quadratische Gleichung) als wenn ich mir jeweils die Links aufmachen muss. Oft benötigt man ja auch nur einen gewissen Teil der verlinkten Theorie, wobei die verlinkten Artikel oft viel mehr (und zT für das Thema irrelevanten) Inhalt aufweisen. Die meisten Lernseiten handhaben das ähnlich, findet ihr wirklich, dass diese Teile rausgenommen werden sollten? Siehe:

* http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/mitternachtsformel.html
* http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung
* http://www.mathebibel.de/mitternachtsformel
* https://oberprima.com/mathematik/mitternachtsformel/

Insbesondere finde ich (meiner Meinung nach), dass lediglich eine verlinkte H2 Überschrift (wie es bei vielen Inhalten der Fall ist) auf einen Artikel nicht wirklich hilfreich ist - lieber kurz das Thema anschneiden und schon weiß man worum es geht.

Was meint ihr?
Hannes 2014-08-26 12:04:46+0200
ok. ich hab mir das jetzt nochmal ganz genau angeschaut. Und jetzt bin ich der Meinung, dass vorallem der doppelt auftretende Punkt " Bedeutung der Diskriminante" und "Anzahl der möglichen Lösungen" in einem Punkt zusammengefasst werden sollten. Evlt. ist es sogar vorteilhaft diesen großteils in einen Spoiler zu verstecken.
Desweitern MUSS die Koeffizientenbezeichnung im Artikel einheitlich sein.

Falls ihr nix dagegen habt, würde ich den Artikel im Laufe der Tage bearbeiten.

LG

Hannes
Simon 2014-08-26 12:34:02+0200
Hi,
Ich möchte mich hier auch einschalten, da ich finde an diesem Artikel und an der Diskussion kann man viel über die pädagogischen Prinzipien von Serlo (http://de.serlo.org/richtlinie-didaktik) lernen.
Zwei wichtige Prinzipien sind 1) Theorie und Anwendung abwechseln und 2) kleine Objekte die verlinkt werden (Übersicht und keine Abschreckung durch zu viel Inhalt)

Zu 1) Die Anwendung der Mitternachtsformel geschieht in dem Artikel aktuell erst ganz unten. Meiner Meinung nach sollte dieses Beispiel direkt nach der Formel integriert werden. Vielleicht noch mit dem Satz vorweg, dass die Mitternachtsformel angewendet wird, wenn D0 (Diskriminate verlinken)

zu 2) Sowohl in dem Artikel "quadratische Gleichung" als auch in "Diskriminate" wird super auf die Mitternachtsfoemel Bezug genommen, es reicht also völlig aus, diese Begriffe zu verlinken. Des Weiteren kann auf deren Bedeutung in der Erklärung der Lösungsschritte nocheinmal eingegangen werden ("Hier liegt eine [quadratische Gleichung] vor") ("Berechne vorerst die [Diskriminate] der Gleichung um die Anzahl der Lösungen der gleichung herauszufinden") ("Die Diskriminate ist größer 0 daher kann die Mitternachtsformel angewendet werden")

Das finden der Koeffizienten (Punkt 3) und die Einordnung der PQ-Formel (Punkt 4) finde ich die einzigen wirklich für diesen Artikel relevanten Inhalte nach der Formel (Punkt 1) und deren Anwendung (Punkt 2).

Nach der Überarbeitung des Artikels, ist es wichtig, das Ergebnis dieser Diskussion in den Didaktik-Hinweis des Artikels festzuhalten. Wie wir das am besten machen und welche Prinzipien sich dadurch als "Richtlinien für den Didaktik-Hinweis" ableiten lassen, hätte ich Lust kommende Woche mit der Hannes zu erarbeiten?!

Liebe Grüße,
Simon
arekkas 2014-08-26 14:06:22+0200
@Hannes: Gerne!

@Simon

Zu 1: Ja, mehr Beispiele sind immer gut! Theorie und Anwendung abzuwechseln finde ich super

Zu 2: Links wie "Artikel zum Thema" oder einfach nur eine Verlinkung auf einen Inhalt als h2-h4 Überschrift machen sich in keinem Artikel gut. Es muss zumindest eine kleine Beschreibung geben, worum es in dem verlinkten Inhalt geht, ggf. mit einem kurzen Beispiel oder einer einfachen Formel. Ähnlich findet man ja auf der Wikipedia auch keine "leeren Verlinkungstexte" bei denen sich der Lernende sdann elbst zurecht finden muss.
Simon 2014-08-26 15:09:51+0200
Jep, da stimme ich dir voll zu, danke für die Präzisierung. Die Verlinkung sollte in einem Satz und mit Kontext geschehen, das wollte ich auch mit den Beispielen in Klammer verdeutlichen. Ich nehme auch das für nächste Woche mit auf die Liste.
arekkas 2014-08-28 08:35:56+0200
Das "Vorgehen am Beispiel" finde ich klasse! Voll gut! :)
Hannes 2014-08-28 13:04:02+0200
jetzt wäre ich fertig mit meiner überarbeitung. Bin gespannt was ihr davon haltet!
arekkas 2014-08-28 13:48:47+0200
Finds super, schön übersichtlich und gut erklärt!