Bestimme den Wertebereich der Funktion bei maximalem Definitionsbereich.
f(x)=2x23x+4f(x)=2\cdot x^2-3\cdot x+4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich

f(x)=2x23x+4f(x)=2\cdot x^2 - 3 \cdot x + 4
f(x)=2(x34)2+22316f(x)=2\left(x-\frac34\right)^2+2\cdot\frac{23}{16}
Lese den Scheitel und die Öffnungsrichtung ab.
S  (34  22316)S\;\left(\left.\frac34\right|\;2\cdot\frac{23}{16}\right), Parabel nach oben geöffnet
Gib die Wertemenge an.
Wf=[238;  [W_f=\left[\frac{23}{8}; \;\infty \right[

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich

f(x)=2x3f(x)=2^x-3
Betrachte 2x2^x.
2x2^x ist eine streng monoton steigende Exponentailfunktion, die nur Werte anninmmt, die größer als 0 sind.
Betrachte die Grenzwerte.
limxf(x)=limx2x03=3\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\overbrace{2^x}^{\rightarrow0}-3=-3
limxf(x)=limx2x3\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\overbrace{2^x}^{\rightarrow\infty}-3\rightarrow\infty
Gib nun den Wertebereich an.
Wf=]3;  [W_f=\left]-3;\; \infty \right[
f(x)=x3ln(x3)f(x)=\frac{x-3}{\ln( x-3)}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich

f(x)=x3ln(x3)f(x)=\frac{x-3}{\ln(x-3)}
Bestimme den Definitionsbereich.
Df=]  3;  [  \  {4}D_f=\left]\;3; \;\infty \right[\;\backslash\;\{4\}
Bestimme die Grenzwerte.
limx3f(x)=limx3x30ln(x3)=0\displaystyle\lim_{x\rightarrow3}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow3}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow0}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow-\infty}}=0
Für den zweiten Grenzwert nutzt du aus, das der Logarithmus immer langsamer wächst als jedes Polynom.
limxf(x)=limxx3ln(x3)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow\infty}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow\infty}}=\infty
limx4f(x)=limx4x31ln(x3)0=\displaystyle\lim_{x\rightarrow4^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow4^-}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow0^-}}=-\infty
limx4+f(x)=limx4+x31ln(x3)0+=+\displaystyle\lim_{x\rightarrow4^+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow4^+}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow0^+}}=+\infty
Bestimme jetzt die Extrema.
f(x)=ln(x3)x3x3(ln(x3))2f'(x)=\dfrac{\ln(x-3)-\frac{x-3}{x-3}}{(\ln(x-3))^2}
f(x)=0f'(x)=0
ln(x3)1=0            +1\Leftrightarrow\ln(x-3)-1=0\;\;\;\;\;\; |+1
ln(x3)=1                        e\Leftrightarrow \ln(x-3)=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|e
x3=e                                    +3\Leftrightarrow x-3 = e \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|+3
x=e+3\Leftrightarrow x=e+3
Bestimme jetzt den y-Wert.
f(e+3)=ef\left(e+3\right)=e
Da dies das einzige Extremum ist und die beiden Grenzwerte an den jeweiligen Definitionslücken rechts und links davon (also 4+4^+und  \;\infty) jeweils \infty sind, ist das Extremum ein Minimum.
Gib jetzt den Wertebereich an.
Wf=]  ;0  [[  e;  [W_f=\left]-\;\infty; 0\;\right[\cup\left[\;e;\;\infty\right[