Das Integral stellt einen orientierten Flächeninhalt dar, doch man kann damit auch Flächeninhalte allgemeinerer Flächen, die durch Einschluss verschiedener Funktionsgraphen gegeben sind, berechnen.

Integral als Flächenbilanz

Das Integral wird dazu verwendet, Flächen zwischen den Koordinatenachsen und einem Graphen oder zwischen zwei verschiedenen Graphen zu berechnen. Das Problem ist, dass der Wert des Integrals nur dann mit der tatsächlichen Fläche übereinstimmt, wenn im gewählten Abschnitt der Graph (welcher im Fall der Fläche innerhalb zweier Graphen der Graph der Differenz der dazugehörigen Funktionen ist) oberhalb der x-Achse liegt.

Im Allgemeinen ist das Integral nur die Flächenbilanz, also die Differenz von der Fläche oberhalb der x-Achse und der Fläche unterhalb der x-Achse.

Befinden sich in diesem Bereich eine oder mehrere Nullstellen, so muss man die Funktion in jedem Intervall zwischen zwei benachbarten Nullstellen einzeln betrachten, wenn man die tatsächliche eingeschlossene Fläche herausfinden will.

Die einzelnen Flächen werden dann betragsmäßig addiert; die Maßzahl nicht orientierten Flächeninhalts ist immer positiv.

Ein ausführliches Beispiel findet sich am Ende des Artikels.

Flächenberechnung zwischen x-Achse und Graph von %%f%%

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) besagt, dass, falls der Graph der dazugehörigen Fläche die x-Achse nicht schneidet (man beachte dazu den obigen Abschnitt),

$$A=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=[F(x)]_a^b=F(b)- F(a)$$

gilt, wobei %%F%% eine beliebige Stammfunktion von %%f%% ist und %%a%% und %%b%% die zwei %%x%%-Werte sind, welche die Fläche links und rechts begrenzen.

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Beispiel

Will man die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen von %%f%% mit %%f(x)=x^3%% im Intervall %%[1; 2]%% berechnen, so erhält man unter Benutzung der obigen Formel (man beachte, dass der Graph komplett über der x-Achse verläuft)

$$A=\int_1^2 x^3 \mathrm{d}x=[\frac{1}{4} x^4]_1^2=\frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}.$$

Flächenberechnung zwischen zwei beliebigen Graphen

Manchmal interessiert man sich für die Fläche, die zwischen zwei benachbarten Schnittpunkten %%a%% und %%b%% der zwei Graphen der Funktionen %%f%% und %%g%% liegt.

$$\left|\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d}x\right|=\left|\left[F(x)-G(x)\right]_a^b\right|$$

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Hilfreiches und Begründung der Formel

In vielen Aufgaben, in denen diese Formel zu verwenden ist, muss man zuerst die Schnittpunkte der Funktionsgraphen, die das Flächenstück begrenzen, berechnen. Das Vorgehen dazu findet sich im Artikel Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen.

Es bietet sich an, nicht wahllos die Formel von oben zu benutzen, sondern sich zuerst zu überlegen, welche der beiden Funktionen im betrachteten Intervall größer ist; auf diese Art und Weise kann man auf die Benutzung des Betrags verzichten.

Vorsicht ist geboten, falls die beiden Schnittpunkte nicht benachbart sind: In diesem Fall besitzt %%f-g%% im betrachteten Intervall eine Nullstelle und somit einen Vorzeichenwechsel - man hat also den Inhalt des obigen Abschnitts "Integral als Flächenbilanz" zu berücksichtigen.

Begründung der Formel

Die Gültigkeit der Formel lässt sich gut mit Flächenüberlegungen begründen; man betrachte dazu zuerst den Fall, dass beide Graphen im gesamten betrachteten Intervall über der x-Achse liegen.

Wenn %%f%% im Intervall %%[a; b]%% größer als %%g%% ist, so berechnet %%\int_a^b f(x) \mathrm{d}x%% die Fläche unter dem Graphen von %%f%%. Um nun den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen zu erhalten, muss man nun noch den unter dem Graphen von %%g%% liegenden Flächeninhalt abziehen, welcher dem Wert %%\int_a^b g(x) \mathrm{d}x%% entspricht.

Aufgrund der Linearität des Integrals erhält man die obige Formel; für den Fall, dass man für %%f%% die kleinere der beiden Funktionen verwendet hat, muss man noch das Vorzeichen umdrehen, wodurch der Betrag in der Formel erscheint.

Im Fall, dass eine oder beide der Funktionen im betrachteten Intervall negativ werden, ergibt sich dennoch dieselbe Formel: Man kann nämlich die beiden Graphen durch Addition einer positiven Konstante so weit wie nötig nach oben verschieben, dass sie beide über der x-Achse liegen; der Flächeninhalt ändert sich dadurch anschaulicherweise nicht.

Beispiel

Will man die Fläche zwischen den Graphen der beiden Funktionen %%f%% und %%g%% mit %%f(x)=-2x^2+1%% und %%g(x)=x^4-2x^2%% berechnen, so muss man zuerst die beiden Schnittpunkte berechnen; diese sind (wie im Artikel Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen beispielhaft berechnet wird) %%a=-1%% und %%b=1%%. Die Grafik im Artikel zeigt, dass %%f%% im Intervall %%[-1;1]%% größer als %%g%% ist, und sich somit für den Flächeninhalt

$$A=\int_{-1}^1(f(x)-g(x))\mathrm{d}x=\int_{-1}^1 (-2x^2+1 - (x^4 - 2x^2)) \mathrm{d}x= \int_{-1}^1 (-x^4 +1) \mathrm{d}x=[- \frac{1}{5}x^5 + x]_{-1}^1=-\frac{1}{5} + 1 - (-\frac{1}{5} \cdot(-1)^5 -1)=\frac{8}{5}$$

ergibt.

Der Flächeninhalt einer Funktion mit Vorzeichenwechsel

Die Problematik, den Flächeninhalt (und nicht die Flächenbilanz) zwischen dem Graphen einer Funktion mit Vorzeichenwechsel und der x-Achse zu berechnen, wurde schon zu Beginn des Artikels angesprochen, deshalb folgt hier ein Beispiel.

Beispiel  

Will man die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion %%f\left(x\right)=x^3-2x%% und der x-Achse zwischen -2 und 2 berechnen, so ist zu beachten, dass %%f%% punktsymmetrisch zum Ursprung ist; in einem zu Null symmetrischen Intervall wie %%[-2;2]%% heben sich die Flächen im negativen und im positiven Bereich auf. (siehe Rechenregeln des Integrals)

Um das Maß des Flächeninhalts zu berechnen, sucht man zunächst alle Nullstellen in diesem Bereich:

%%f\left(x\right)=x\left(x^2-2\right)=x\left(x-\sqrt2\right)\left(x+\sqrt2\right)%% %%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%{\mathrm{NS}}_1=0,\;{\mathrm{NS}}_{2/3}=\pm \sqrt{2}%%

Da der Graph symmetrisch ist, reicht es aus, die Flächenstücke auf einer Seite der y-Achse zu berechnen und den Wert zu verdoppeln: die Flächenstücke rechts und links der x-Achse sind also gleich groß.

Fläche %%A%% unter dem Graphen zwischen 0 und 2 $$\begin{align} A&=\left|\int_0^\sqrt2f\left(x\right)\mathrm{d}x\right|+\left|\int_\sqrt2^2f\left(x\right)\mathrm{d}x\right|\\ &=\left|\int_0^\sqrt2x^3\mathrm{d}x-\int_0^\sqrt22x\mathrm{d}x\right|+\left|\int_\sqrt2^2x^3\mathrm{d}x-\int_\sqrt2^22x\mathrm{d}x\right|\\ &=\left|\left[\frac14x^4\right]_0^\sqrt2-\left[x^2\right]_0^\sqrt2\right|+\left|\left[\frac14x^4\right]_\sqrt2^2-\left[x^2\right]_\sqrt2^2\right|\\ &=\left|\frac44-0-\left(2-0\right)\right|+\left|\frac{16}4-\frac44-\left(4-2\right)\right|\\ &=\left|-1\right|+\left|1\right|=2 \end{align} $$

Das Flächenmaß unter dem Graphen zwischen -2 und 2 beträgt also 4.

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Übungsaufgaben

Übungsaufgaben

Berechne die zwischen %%G_f%% und der %%x%%-Achse eingeschlossene Fläche für die folgende Funktion %%f%%:

 

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